Considere os vetores a=imath+k, b=jmath+k e c=imath+jmath+k.
a) Verifique que os vetores a, b e c são linearmente independentes. O conjunto a, b, c é uma base de R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três vetores no espaço tridimensional: a = imath + k, b = jmath + k e c = imath + jmath + k. Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles formam uma base para o espaço R^3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear e determinantação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Três vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, se c1a + c2b + c3c = 0 implica que c1 = c2 = c3 = 0, então os vetores são linearmente independentes.
Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz A com os vetores a, b e c como colunas:
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Aqui, a primeira coluna representa a, a segunda b e a terceira c. Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

O determinante para uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando os valores da matriz A:
det(A) = 1(1 cdot 1 - 1 cdot 1) - 0(0 cdot 1 - 1 cdot 1) + 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1)
det(A) = 1(1 - 1) - 0(0 - 1) + 1(0 - 1)
det(A) = 1(0) - 0(-1) + 1(-1)
det(A) = 0 + 0 - 1 = -1

Passo 5

Como o determinante de A é -1, que é diferente de zero, concluímos que os vetores a, b e c são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, para verificar se esses vetores formam uma base para R^3, precisamos saber que uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “preenchem” todo o espaço. No caso de R^3, precisamos de exatamente três vetores linearmente independentes para formar uma base.
Como já mostramos que os vetores são linearmente independentes e são três no total, eles formam uma base para R^3.

Resposta

Os vetores a, b e c são linearmente independentes e o conjunto a, b, c forma uma base de R^3.

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