Considere os vetores e .
a) Verifique que os vetores e são linearmente independentes. O conjunto é uma base de ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três vetores no espaço tridimensional: , e . Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles formam uma base para o espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como combinação linear e determinantação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Três vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em termos matemáticos, se implica que , então os vetores são linearmente independentes.
Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores , e como colunas:
Aqui, a primeira coluna representa a, a segunda b e a terceira c. Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 4
O determinante para uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
Como o determinante de A é -1, que é diferente de zero, concluímos que os vetores a, b e c são linearmente independentes.
Passo 6
Agora, para verificar se esses vetores formam uma base para R^3, precisamos saber que uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que “preenchem” todo o espaço. No caso de R^3, precisamos de exatamente três vetores linearmente independentes para formar uma base.
Como já mostramos que os vetores são linearmente independentes e são três no total, eles formam uma base para R^3.
Resposta
Os vetores a, b e c são linearmente independentes e o conjunto a, b, c forma uma base de R^3.