Sejam e v3=(0,2,-1). Determine as coordenadas de um vetor v de modo que v cdot v1=2, v cdot v2=3 e v cdot v3=4.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos três vetores dados:
v1 = (-2, 1, 1), v2 = (3, 1, -1), v3 = (0, 2, -1)
E precisamos encontrar as coordenadas de um vetor v cdot v1 = 2, v cdot v2 = 3, v cdot v3 = 4 que satisfaz as seguintes condições de produto escalar:
Para resolver isso, vamos usar o conhecimento de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares. Precisaremos montar um sistema de equações com base nas condições dadas e resolver para encontrar , e .
Passo 2
Vamos começar definindo o vetor v = (x, y, z) de forma mais explícita:
O produto escalar entre e cada um dos vetores , e nos dá equações que relacionam , e .
Passo 3
Calculando o primeiro produto escalar:
v cdot v1 = (-2)x + (1)y + (1)z = 2
Simplificando:
-2x + y + z = 2 (Equação 1) çã
Passo 4
Agora, vamos calcular o segundo produto escalar:
v cdot v2 = (3)x + (1)y + (-1)z = 3
Simplificando:
3x + y - z = 3 (Equação 2) çã
Passo 5
Finalmente, calculamos o terceiro produto escalar:
v cdot v3 = (0)x + (2)y + (-1)z = 4
Simplificando:
0x + 2y - z = 4 (Equação 3) çã
Passo 6
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
-2x + y + z = 2 (Equação 1) 3x + y - z = 3 (Equação 2) 2y - z = 4 (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 7
Vamos somar as Equações 1 e 2 para eliminar (-2x + y + z) + (3x + y - z) = 2 + 3 :
x + 2y = 5 (Equação 4)
Simplificando:
çã
Passo 8
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
x + 2y = 5 (Equação 4) 2y - z = 4 (Equação 3) çãçã
Vamos resolver a Equação 4 para x = 5 - 2y :
Passo 9
Substituímos 3(5 - 2y) + y - z = 3 na Equação 2:
15 - 6y + y - z = 3 15 - 5y - z = 3 -5y - z = -12 (Equação 5)
Simplificando:
çã
Passo 10
Agora, temos:
2y - z = 4 (Equação 3) -5y - z = -12 (Equação 5) çãçã
Vamos subtrair a Equação 3 da Equação 5 para eliminar (-5y - z) - (2y - z) = -12 - 4 :
-5y - z - 2y + z = -16 -7y = -16 y = 167
Simplificando:
Passo 11
Com x = 5 - 2(167) = 5 - 327 = 357 - 327 = 37 , substituímos na Equação 4 para encontrar :
Passo 12
Agora, substituímos 2(167) - z = 4 327 - z = 4 -z = 4 - 327 = 287 - 327 = -47 z = 47 na Equação 3 para encontrar :
Resposta
O vetor v = ( 37, 167, 47 ) que satisfaz as condições dadas é: