Estude a convergência da integral integral1^infty 3 x+2raizx^5+3 x+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você está pedindo. A questão é sobre analisar se a integral converge ou não. Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente no estudo de integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar essa integral com integrais que já sabemos se convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que está dentro da integral para facilitar nossa análise. Olha só:
3x + 2raizx^5 + 3x + 1
Quando 3xraizx^5 = 3xx^2.5 = 3x^-1.5 = 3x^1.5 tende para o infinito, os termos de maior grau dominam. Então, no numerador, é o mais importante, e no denominador, dentro da raiz é o que mais conta. Assim, podemos simplificar a expressão aproximando para:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa integral original com a integral de integral1^infty 1x^1.5 , dx , que sabemos como se comporta. A integral comparativa fica:
Sabemos que, para uma função , a integral converge se e diverge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então essa integral comparativa converge.

Passo 4

Como a nossa função original é assintoticamente equivalente a e essa última integral converge, podemos concluir, usando o Teste da Comparação, que a integral original também converge.

Resposta

A integral converge.

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