Estude a convergência da integral
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você está pedindo. A questão é sobre analisar se a integral
converge ou não. Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente no estudo de integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar essa integral com integrais que já sabemos se convergem ou divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que está dentro da integral para facilitar nossa análise. Olha só:
Quando
tende para o infinito, os termos de maior grau dominam. Então, no numerador,
é o mais importante, e no denominador,
dentro da raiz é o que mais conta. Assim, podemos simplificar a expressão aproximando para:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa integral original com a integral de
, que sabemos como se comporta. A integral comparativa fica:
Sabemos que, para uma função
, a integral
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então essa integral comparativa converge.
Passo 4
Como a nossa função original
é assintoticamente equivalente a
e essa última integral converge, podemos concluir, usando o Teste da Comparação, que a integral original também converge.
Resposta
A integral
converge.
Exercícios relacionados
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Considere os vetores
e
. Se
-
é o volume do paralelepípedo formado por e ; -
é a área do paralelogramo formado por ;
entãoé:
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):