Determine se as séries a seguir convergem ou divergem. sumn=0^infty (-1)^n n^2n^3+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Isso envolve entender um pouquinho sobre séries alternadas e os testes de convergência que a gente usa para analisar esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da série que alterna os sinais. Aqui, o termo faz a série alternar entre positivo e negativo conforme aumenta. Esse tipo de série é chamada de série alternada.

Passo 3

Agora, para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos, ou seja, .
  2. Os termos tendem a zero conforme vai para o infinito ( ).
  3. A sequência é monótonamente decrescente a partir de algum ponto.

Passo 4

Vamos verificar essas condições para a nossa série:
  1. Positividade: limn to infty n^2n^3+1 = limn to infty 1n + 1n^2 = 0 . Como e são sempre positivos para , .
  2. Limite em zero:
    Então, o limite é zero.
  3. Decrescimento: Para grandes valores de , se comporta como , que é uma sequência decrescente. Portanto, é decrescente para suficientemente grande.

Passo 5

Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge.

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