Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Isso envolve entender um pouquinho sobre séries alternadas e os testes de convergência que a gente usa para analisar esse tipo de série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da série que alterna os sinais. Aqui, o termo
faz a série alternar entre positivo e negativo conforme
aumenta. Esse tipo de série é chamada de série alternada.
Passo 3
Agora, para testar a convergência dessa série, podemos usar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos, ou seja, . - Os termos
tendem a zero conforme vai para o infinito ( ). - A sequência
é monótonamente decrescente a partir de algum ponto.
Passo 4
Vamos verificar essas condições para a nossa série:
-
Positividade:
. Como e são sempre positivos para , . -
Limite em zero:Então, o limite é zero.
-
Decrescimento: Para grandes valores de
, se comporta como , que é uma sequência decrescente. Portanto, é decrescente para suficientemente grande.
Passo 5
Como todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
e
. Se
-
é o volume do paralelepípedo formado por e ; -
é a área do paralelogramo formado por ;
entãoé:
Dada a função
,
Desenvolva em série de Fourier de senos e faça o gráfico da correspondente extensão periódica de
de período 4 .
Desenvolva
Estude a convergência da integral
.
Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
.