Considere vetores de Re^3, v1=(1,2,0) e v2=(0,2,1). Determine se possível, um vetor a paralelo a v1 tal que o vetor b=v2-a seja perpendicular a v1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores em :
A gente precisa descobrir se existe um vetor que é paralelo a e que, ao subtrairmos de , o vetor resultante seja perpendicular a .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores paralelos e perpendiculares, além do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a = k cdot v1 ser paralelo a . Se dois vetores são paralelos, um é múltiplo do outro. Ou seja, podemos escrever:
onde é um escalar (um número real que vamos determinar).

Passo 3

Agora, sabemos que b = v2 - k cdot v1 . Substituindo , temos:

Passo 4

A condição é que v1 cdot b = 0 seja perpendicular a . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja:

Passo 5

Vamos substituir v1 cdot (v2 - k cdot v1) = 0 na equação acima:
v1 cdot v2 - k cdot v1 cdot v1 = 0
Distribuindo o produto escalar:

Passo 6

Agora, vamos calcular cada parte:
  • Produto escalar (1)(0) + (2)(2) + (0)(1) = 0 + 4 + 0 = 4 :
(1)^2 + (2)^2 + (0)^2 = 1 + 4 + 0 = 5
  • Produto escalar (que é o quadrado da norma de ):

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
4 - k cdot 5 = 0
Resolvendo para 5k = 4 implies k = 45 :

Passo 8

Agora que encontramos a = k cdot v1 = 45 cdot (1, 2, 0) = ( 45, 85, 0 ) , podemos encontrar :

Resposta

Existe sim um vetor a = ( 45, 85, 0 ) paralelo a que satisfaz as condições dadas. Esse vetor é:

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