Indique se a afirmação dada é verdadcira ou falsa, justificando sua resposta. Sc a afirmação for falsa, dê um exemplo e se for verdadeira tem que provar independente do espaço que os vetores se encontram caso não esteja explicitado. Se u, v e w são vetores unitários tais que projw(u+v)=projw u então v é ortogonal ao vetor w. V

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores unitários , e . A afirmação diz que se a projeção de em é igual à projeção de em , então é ortogonal a . Vamos utilizar conceitos de projeção de vetores e ortogonalidade para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor em outro. A projeção de projb(a) = ( a cdot b|b|^2 ) b em projw(a) = (a cdot w) w é dada por:
Como é um vetor unitário, sua norma é 1 ( ). Assim, a fórmula simplifica para:

Passo 3

Aplicando essa fórmula na condição dada pela questão:
projw(u + v) = projw u
Substituindo pela fórmula da projeção:
(u + v) cdot w cdot w = (u cdot w) w

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por (u + v) cdot w = u cdot w (já que é diferente de zero):

Passo 5

Expandindo o produto interno:
u cdot w + v cdot w = u cdot w
Subtraindo v cdot w = 0 de ambos os lados:

Passo 6

A condição significa que os vetores e são ortogonais. Isso acontece porque o produto interno igual a zero indica que o ângulo entre os vetores é de 90 graus.

Resposta

A afirmação é verdadeira: é ortogonal a .

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