Indique se a afirmação dada é verdadcira ou falsa, justificando sua resposta. Sc a afirmação for falsa, dê um exemplo e se for verdadeira tem que provar independente do espaço que os vetores se encontram caso não esteja explicitado. Se
e
são vetores unitários tais que
então
é ortogonal ao vetor
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores unitários
,
e
. A afirmação diz que se a projeção de
em
é igual à projeção de
em
, então
é ortogonal a
. Vamos utilizar conceitos de projeção de vetores e ortogonalidade para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor em outro. A projeção de
em
é dada por:
Como
é um vetor unitário, sua norma é 1 (
). Assim, a fórmula simplifica para:
Passo 3
Aplicando essa fórmula na condição dada pela questão:
Substituindo pela fórmula da projeção:
Passo 4
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
(já que
é diferente de zero):
Passo 5
Expandindo o produto interno:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
A condição
significa que os vetores
e
são ortogonais. Isso acontece porque o produto interno igual a zero indica que o ângulo entre os vetores é de 90 graus.
Resposta
A afirmação é verdadeira:
é ortogonal a
.