Sejam u=(0,1,3) e v=(1,0,-1). Se w=(-4, x, y) é ortogonal a u e é ortogonal a v então x+y^2 é:
a. 40
b. 72
c. 28
d. 36
e. 54

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u = (0,1,3) e v = (1,0,-1), e um terceiro vetor w = (-4, x, y) que é ortogonal a ambos u e v. Nosso objetivo é encontrar os valores de x e y que satisfazem essa condição e, em seguida, calcular x + y^2.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com vetores e a condição de ortogonalidade entre eles. Para verificar se dois vetores são ortogonais, usamos o produto escalar. Se o produto escalar de dois vetores for zero, eles são ortogonais.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre produto escalar de vetores e como resolver equações lineares.

Passo 2

Vamos começar aplicando a condição de ortogonalidade entre w e u. O produto escalar de w e u deve ser igual a zero:
u cdot w = 0
Calculando o produto escalar:
0 cdot (-4) + 1 cdot x + 3 cdot y = 0
0 + x + 3y = 0
x + 3y = 0 (Equação 1) çã

Passo 3

Agora, aplicamos a condição de ortogonalidade entre w e v:
v cdot w = 0
Calculando o produto escalar:
1 cdot (-4) + 0 cdot x + (-1) cdot y = 0
-4 + 0 - y = 0
-4 - y = 0
y = -4 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora que encontramos o valor de y, podemos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar x:
x + 3(-4) = 0
x - 12 = 0
x = 12

Passo 5

Finalmente, com os valores de x e y encontrados, calculamos x + y^2:
x + y^2 = 12 + (-4)^2 = 12 + 16 = 28

Resposta

O valor de x + y^2 é 28. Portanto, a resposta correta é a opção c. 28.

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