Sejam u=(0,1,3) e v=(1,0,-1). Se w=(-4, x, y) é ortogonal a u e é ortogonal a v então x+y^2 é:
a. 40
b. 72
c. 28
d. 36
e. 54

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u = (0,1,3) e v = (1,0,-1), e um terceiro vetor w = (-4, x, y) que é ortogonal a ambos u e v. Nosso objetivo é encontrar os valores de x e y que satisfazem essa condição e, em seguida, calcular x + y^2.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com vetores e a condição de ortogonalidade entre eles. Para verificar se dois vetores são ortogonais, usamos o produto escalar. Se o produto escalar de dois vetores for zero, eles são ortogonais.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre produto escalar de vetores e como resolver equações lineares.

Passo 2

Vamos começar aplicando a condição de ortogonalidade entre w e u. O produto escalar de w e u deve ser igual a zero:
u cdot w = 0
Calculando o produto escalar:
0 cdot (-4) + 1 cdot x + 3 cdot y = 0
0 + x + 3y = 0
x + 3y = 0 (Equação 1) çã

Passo 3

Agora, aplicamos a condição de ortogonalidade entre w e v:
v cdot w = 0
Calculando o produto escalar:
1 cdot (-4) + 0 cdot x + (-1) cdot y = 0
-4 + 0 - y = 0
-4 - y = 0
y = -4 (Equação 2) çã

Passo 4

Agora que encontramos o valor de y, podemos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar x:
x + 3(-4) = 0
x - 12 = 0
x = 12

Passo 5

Finalmente, com os valores de x e y encontrados, calculamos x + y^2:
x + y^2 = 12 + (-4)^2 = 12 + 16 = 28

Resposta

O valor de x + y^2 é 28. Portanto, a resposta correta é a opção c. 28.

Exercícios relacionados

Determine a equação da circunferência tangente à diretriz da parábola x^2=4 p y e com centro no foco da parábola. Determine também os pontos de interseção desta circunferência com a parábola.
Determine a equação da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A(1,4), B(3,-2) e C(7,2).
Considere os vetores u=(1,-3,1), v=(2,-3,0) e w=(1, x, 2). Quais os possíveis valores de x para que o dobro do volume do paralelepípedo formado pelos vetores dados seja 30 ?
a. x=3 e x=-12
b. x=-3 e x=-6
c. x=9 e x=-18
d. x=-1 e x=3
e. x=-6 e x=0
f. x=2 e x=9
Para quais valores de k, os pontos A=(1,0,4), B=(-2, k^2-2,-3), C=(0,0,2) e D=(-1,-2,-2) se tornam coplanares, isto é, pertencem ao mesmo plano?
Escolla uma opção:
a. pm 1
b. pm 2
c. pm raiz2
d. pm raiz3
e. pm raiz5