Determine a equação da circunferência tangente à diretriz da parábola x^2=4 p y e com centro no foco da parábola. Determine também os pontos de interseção desta circunferência com a parábola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de uma circunferência que é tangente à diretriz da parábola e que tem o centro no foco dessa parábola. Além disso, precisamos descobrir onde essa circunferência cruza a própria parábola. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as características da parábola, como encontrar o foco e a diretriz, e depois usar esses dados para achar a equação da circunferência e os pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as propriedades básicas da parábola . Nessa forma, sabemos que o vértice da parábola está na origem , o foco está no ponto e a diretriz é a reta . O valor é uma constante que determina a “abertura” da parábola.

Passo 3

Como a circunferência tem o centro no foco da parábola, sabemos que o centro da circunferência é . Agora, precisamos determinar o raio dessa circunferência. Sabemos também que a circunferência é tangente à diretriz . A distância entre o centro da circunferência e a diretriz será exatamente o raio da circunferência.

Passo 4

A distância entre o ponto d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2 e a reta d = |0 cdot 0 + 1 cdot p + p|raiz0^2 + 1^2 = |2p|1 = 2p pode ser calculada usando a fórmula da distância ponto-retas. Para uma reta na forma e um ponto , a distância é:
No nosso caso, a diretriz pode ser reescrita como . Então, , , e . O ponto é . Substituindo na fórmula:
Portanto, o raio da circunferência é .

Passo 5

Agora que sabemos o centro (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 e o raio (x - 0)^2 + (y - p)^2 = (2p)^2 da circunferência, podemos escrever a sua equação. A equação geral de uma circunferência com centro x^2 + (y - p)^2 = 4p^2 e raio é:
Substituindo , e :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre a circunferência 4py + (y - p)^2 = 4p^2 e a parábola 4py + y^2 - 2py + p^2 = 4p^2 .
Para isso, podemos substituir y^2 + 2py + p^2 - 4p^2 = 0 da parábola na equação da circunferência:
y^2 + 2py - 3p^2 = 0
Vamos expandir :
Combine os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática em y^2 + 2py - 3p^2 = 0 :
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
y = -2p pm raiz(2p)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3p^2)2 cdot 1
onde y = -2p pm raiz4p^2 + 12p^22 , y = -2p pm raiz16p^22 e y = -2p pm 4p2 . Substituindo:
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 8

Agora que temos os valores de x^2 = 4p cdot p = 4p^2 , vamos encontrar os correspondentes valores de x = pm 2p usando a equação da parábola x^2 = 4p cdot (-3p) = -12p^2 .
Para :
Então, os pontos são e .
Para :
Aqui, percebemos que é negativo, o que não é possível no conjunto dos números reais. Portanto, não há pontos reais de interseção para .

Resposta

A equação da circunferência é . Os pontos de interseção com a parábola são e .

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a. 40
b. 72
c. 28
d. 36
e. 54
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b. x=-3 e x=-6
c. x=9 e x=-18
d. x=-1 e x=3
e. x=-6 e x=0
f. x=2 e x=9