Determine a equação da circunferência tangente à diretriz da parábola
e com centro no foco da parábola. Determine também os pontos de interseção desta circunferência com a parábola.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação de uma circunferência que é tangente à diretriz da parábola
e que tem o centro no foco dessa parábola. Além disso, precisamos descobrir onde essa circunferência cruza a própria parábola. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as características da parábola, como encontrar o foco e a diretriz, e depois usar esses dados para achar a equação da circunferência e os pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as propriedades básicas da parábola
. Nessa forma, sabemos que o vértice da parábola está na origem
, o foco está no ponto
e a diretriz é a reta
. O valor
é uma constante que determina a “abertura” da parábola.
Passo 3
Como a circunferência tem o centro no foco da parábola, sabemos que o centro da circunferência é
. Agora, precisamos determinar o raio dessa circunferência. Sabemos também que a circunferência é tangente à diretriz
. A distância entre o centro da circunferência e a diretriz será exatamente o raio da circunferência.
Passo 4
A distância entre o ponto
e a reta
pode ser calculada usando a fórmula da distância ponto-retas. Para uma reta na forma
e um ponto
, a distância é:
No nosso caso, a diretriz
pode ser reescrita como
. Então,
,
, e
. O ponto é
. Substituindo na fórmula:
Portanto, o raio da circunferência é
.
Passo 5
Agora que sabemos o centro
e o raio
da circunferência, podemos escrever a sua equação. A equação geral de uma circunferência com centro
e raio
é:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre a circunferência
e a parábola
.
Para isso, podemos substituir
da parábola na equação da circunferência:
Vamos expandir
:
Combine os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, temos uma equação quadrática em
:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
. Substituindo:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 8
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a equação da parábola
.
Para
:
Então, os pontos são
e
.
Para
:
Aqui, percebemos que
é negativo, o que não é possível no conjunto dos números reais. Portanto, não há pontos reais de interseção para
.
Resposta
A equação da circunferência é
. Os pontos de interseção com a parábola são
e
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices
e
.
Sejam
um espaço vetorial de dimensão finita e sejam
e
bases de
. Mostre que
.
Sejam
e
. Se
é ortogonal a
e é ortogonal a
então
é:
a. 40
b. 72
c. 28
d. 36
e. 54
a. 40
b. 72
c. 28
d. 36
e. 54
Considere os vetores
e
. Quais os possíveis valores de
para que o dobro do volume do paralelepípedo formado pelos vetores dados seja 30 ?
a. e
b. e
c. e
d. e
e. e
f. e
a.
b.
c.
d.
e.
f.