Considere os vetores no :
Existem tal que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos três vetores no espaço tridimensional :
Queremos encontrar números reais e tais que:
Isso envolve conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares. Vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para encontrar os valores de e .

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação vetorial componente a componente. Isso significa que cada componente dos vetores deve satisfazer a equação dada.
Aqui, igualamos as componentes correspondentes dos vetores.

Passo 3

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas:
çãçãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar a Equação 2. Podemos dividir todos os termos por 2:
çã
Agora, temos:
çãçãçã

Passo 5

Vamos somar a Equação 1 e a Equação 2 simplificada para eliminar :
Simplificando:
Isso nos dá uma identidade verdadeira, o que indica que as Equações 1 e 2 são dependentes. Portanto, precisamos usar a Equação 1 e a Equação 3 para encontrar as incógnitas.

Passo 6

Vamos resolver a Equação 1 para :
Agora, substituímos na Equação 3:
Simplificando:

Passo 7

Agora que encontramos , substituímos de volta na expressão :

Resposta

Os valores são e . Portanto,

Exercícios relacionados

Podemos usar qualquer um dos pontos de uma reta para escrever sua equação vetorial? E qualquer vetor diretor? Se sim, qual a influência dessas escolhas sobre o parâmetro?
Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza depende de duas variáveis de controle e . O modelo matemático para esta dependência é , onde os parâmetros e dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de para diferentes configurações de e e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
-3 1 -35.4
-2 4 -0.4
-1 1 5.5
0 3 16.1
1 -5 -19.4
2 -1 -18.4
3 -2 -46.9
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros e de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de previsto pelo modelo ajustado para . Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -287.0
(B) -286.0
© -285.0
(D) -284.0
(E) -283.0
(F) -282.0
(G) -281.0
(H) -280.0
(I) Não sei
O que é um vetor normal a um plano?
Dada a equação cartesiana do plano, como obtemos sua equação vetorial? Analogamente, dada a equação vetorial do plano, como obter sua equação cartesiana?