Considere os vetores no R^3 :
u=(2,-4,1), v=(1,-2,11) e w=(-1,2,3)
Existem alpha1, alpha2 in R tal que v=alpha1 u+alpha2 w

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3:
u = (2, -4, 1), v = (1, -2, 11), w = (-1, 2, 3)
Queremos encontrar números reais alpha1 e alpha2 tais que:
v = alpha1 u + alpha2 w
Isso envolve conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares. Vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para encontrar os valores de alpha1 e alpha2.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação vetorial componente a componente. Isso significa que cada componente dos vetores deve satisfazer a equação dada.
v = alpha1 u + alpha2 w implies 1 = 2alpha1 - alpha2 -2 = -4alpha1 + 2alpha2 11 = alpha1 + 3alpha2
Aqui, igualamos as componentes correspondentes dos vetores.

Passo 3

Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas:
2alpha1 - alpha2 = 1 (Equação 1) -4alpha1 + 2alpha2 = -2 (Equação 2) alpha1 + 3alpha2 = 11 (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de alpha1 e alpha2.

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar a Equação 2. Podemos dividir todos os termos por 2:
-2alpha1 + alpha2 = -1 (Equação 2 simplificada) çã
Agora, temos:
2alpha1 - alpha2 = 1 (Equação 1) -2alpha1 + alpha2 = -1 (Equação 2 simplificada) alpha1 + 3alpha2 = 11 (Equação 3) çãçãçã

Passo 5

Vamos somar a Equação 1 e a Equação 2 simplificada para eliminar alpha2:
2alpha1 - alpha2 + (-2alpha1 + alpha2) = 1 + (-1)
Simplificando:
0alpha1 + 0alpha2 = 0
Isso nos dá uma identidade verdadeira, o que indica que as Equações 1 e 2 são dependentes. Portanto, precisamos usar a Equação 1 e a Equação 3 para encontrar as incógnitas.

Passo 6

Vamos resolver a Equação 1 para alpha2:
2alpha1 - alpha2 = 1 implies alpha2 = 2alpha1 - 1
Agora, substituímos alpha2 na Equação 3:
alpha1 + 3(2alpha1 - 1) = 11
Simplificando:
alpha1 + 6alpha1 - 3 = 11 implies 7alpha1 = 14 implies alpha1 = 2

Passo 7

Agora que encontramos alpha1 = 2, substituímos de volta na expressão alpha2 = 2alpha1 - 1:
alpha2 = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3

Resposta

Os valores são alpha1 = 2 e alpha2 = 3. Portanto,
v = 2,u + 3,w

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