Dada a equação cartesiana do plano, como obtemos sua equação vetorial? Analogamente, dada a equação vetorial do plano, como obter sua equação cartesiana?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente transformar a equação cartesiana de um plano em sua equação vetorial e vice-versa. Isso envolve entender duas formas diferentes de representar um plano no espaço tridimensional. Para resolver, precisamos conhecer as definições de equação cartesiana e vetorial de um plano e saber manipular vetores e equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação cartesiana de um plano. Ela tem a forma geral:
Ax + By + Cz + D = 0
onde são os coeficientes que definem a orientação do plano.

Passo 3

Agora, para obter a equação vetorial a partir da equação cartesiana, precisamos encontrar um ponto específico no plano e dois vetores que estão dentro do plano. Esses vetores serão nossos vetores diretores.

Passo 4

Vamos supor que temos um ponto no plano. Com a equação cartesiana, podemos escolher facilmente esse ponto substituindo dois valores para as variáveis e resolvendo para a terceira.

Passo 5

Em seguida, encontramos dois vetores que estão no plano. Para isso, pegamos dois pontos diferentes e no plano e calculamos os vetores e .

Passo 6

Com o ponto r = P0 + sv + tw e os vetores e , a equação vetorial do plano fica:
onde e são escalares.

Passo 7

Agora, para fazer o caminho inverso, ou seja, transformar a equação vetorial em cartesiana, precisamos identificar o ponto e os vetores diretores e .

Passo 8

Com os vetores diretores, calculamos o vetor normal ao plano usando o produto vetorial:
n = v times w
Esse vetor normal será usado na equação cartesiana.

Passo 9

Finalmente, substituímos o ponto A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e o vetor normal Ax + By + Cz + D = 0 na forma da equação cartesiana:
que simplifica para:
onde .

Resposta

Assim, mostramos como converter entre a equação cartesiana e a equação vetorial de um plano seguindo passos claros e explicando cada conceito utilizado!

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