Dada a equação cartesiana do plano, como obtemos sua equação vetorial? Analogamente, dada a equação vetorial do plano, como obter sua equação cartesiana?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente transformar a equação cartesiana de um plano em sua equação vetorial e vice-versa. Isso envolve entender duas formas diferentes de representar um plano no espaço tridimensional. Para resolver, precisamos conhecer as definições de equação cartesiana e vetorial de um plano e saber manipular vetores e equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação cartesiana de um plano. Ela tem a forma geral:
onde
são os coeficientes que definem a orientação do plano.
Passo 3
Agora, para obter a equação vetorial a partir da equação cartesiana, precisamos encontrar um ponto específico no plano e dois vetores que estão dentro do plano. Esses vetores serão nossos vetores diretores.
Passo 4
Vamos supor que temos um ponto
no plano. Com a equação cartesiana, podemos escolher facilmente esse ponto substituindo dois valores para as variáveis e resolvendo para a terceira.
Passo 5
Em seguida, encontramos dois vetores que estão no plano. Para isso, pegamos dois pontos diferentes
e
no plano e calculamos os vetores
e
.
Passo 6
Com o ponto
e os vetores
e
, a equação vetorial do plano fica:
onde
e
são escalares.
Passo 7
Agora, para fazer o caminho inverso, ou seja, transformar a equação vetorial em cartesiana, precisamos identificar o ponto
e os vetores diretores
e
.
Passo 8
Com os vetores diretores, calculamos o vetor normal ao plano usando o produto vetorial:
Esse vetor normal
será usado na equação cartesiana.
Passo 9
Finalmente, substituímos o ponto
e o vetor normal
na forma da equação cartesiana:
que simplifica para:
onde
.
Resposta
Assim, mostramos como converter entre a equação cartesiana e a equação vetorial de um plano seguindo passos claros e explicando cada conceito utilizado!
Exercícios relacionados
O que é um vetor normal a um plano?
Considere os vetores no
:
Existem
tal que
Determine a equação da esfera cujo diâmetro é o segmento que liga
a
.
Obtenha duas parametrizações distintas para a reta que passa pelos pontos
e
. Para cada uma das parametrizações, indique os parâmetros correspondentes ao ponto
e ao ponto médio dos pontos
e
.