Considere os vetores de R^4
v1=(10,1,-1,3), v2=(3,2,-1,-1), v3=(1,4,8,1), v4=(4,3,3,4), v5=(3,1,1,0)
É possivel encontrar uma base de R^4 entre esses vetores? Se for possível, determine essa base.

Passo 1

Beleza, vamos começar! Temos cinco vetores em R^4 e queremos descobrir se conseguimos escolher quatro deles que formam uma base desse espaço. Isso envolve duas coisas principais da álgebra linear: independência linear e geração do espaço. Basicamente, precisamos ver se quatro desses vetores não só “não se sobrepõem” (são independentes) mas também conseguem “preencher” todo o espaço R^4.

Passo 2

Para facilitar, vamos organizar esses vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
A = 10 & 3 & 1 & 4 & 3 1 & 2 & 4 & 3 & 1 -1 & -1 & 8 & 3 & 1 3 & -1 & 1 & 4 & 0

Passo 3

Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e descobrir se conseguimos encontrar quatro pivôs (números que ajudam a identificar independência). Se tivermos quatro pivôs, isso significa que quatro vetores são lineares e formarão nossa base.

Passo 4

Começamos com a primeira coluna. O primeiro número é 10, que já pode ser nosso primeiro pivô. Vamos usar esse número para zerar os demais abaixo dele na mesma coluna. Fazemos isso subtraindo uma fração adequada da primeira linha das outras linhas.

Passo 5

Depois de ajustar as linhas, passamos para a segunda coluna. Procuramos o próximo pivô que não está zerado. Se encontrarmos um número diferente de zero, esse será nosso segundo pivô. Repetimos o processo de zerar os números abaixo desse pivô.

Passo 6

Continuamos esse processo para a terceira e quarta colunas. Cada passo visa encontrar um pivô e zerar os números abaixo dele, garantindo que cada pivô esteja em uma coluna diferente.

Passo 7

Após terminar a eliminação, contamos quantos pivôs conseguimos. Se tivemos quatro pivôs, significa que quatro dos nossos vetores são independentes e cobrem todo o espaço R^4, formando assim uma base.

Passo 8

No nosso caso, após realizar as operações, identificamos que os vetores v1, v2, v3 e v4 são linearmente independentes. Eles não se sobrepõem e juntos conseguem gerar todo o espaço R^4.

Resposta

Sim, é possível. Uma base de R^4 é formada pelos vetores v1=(10,1,-1,3), v2=(3,2,-1,-1), v3=(1,4,8,1) e v4=(4,3,3,4).

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