Sendo T: R^3 R^2 uma aplicação linear, definida por T(x, y, z)=(z, x+y). Determine:
c) determine as imagens de v=(1,2,1) utilizando [T v]beta=[T]beta^beta^prime cdot[v]beta nos itens a) e b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear juntos! O enunciado pede para determinar a imagem do vetor usando a fórmula . Aqui, estamos trabalhando com uma aplicação linear definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a transformação linear como uma matriz e como multiplicar essa matriz pelo vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa notação representa a matriz da transformação linear em relação às bases do espaço de partida ( ) e do espaço de chegada ( ). No nosso caso, vamos assumir que estamos trabalhando com as bases canônicas, ou seja, em e em .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz [T]beta^beta' = 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 . Para isso, aplicamos a transformação a cada um dos vetores da base de e expressamos o resultado em termos da base .
Vamos calcular:
Então, a matriz fica assim:

Passo 4

Em seguida, representamos o vetor 1 2 1 na base , que no caso da base canônica é simplesmente .

Passo 5

Agora, fazemos a multiplicação da matriz [T v]beta = [T]beta^beta' cdot [v]beta = 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 cdot 1 2 1 pelo vetor :

Passo 6

Vamos calcular a multiplicação passo a passo:
Para a primeira linha:
0 cdot 1 + 0 cdot 2 + 1 cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1
Para a segunda linha:
1 cdot 1 + 1 cdot 2 + 0 cdot 1 = 1 + 2 + 0 = 3

Resposta

A imagem do vetor é .

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