Sendo uma aplicação linear, definida por . Determine:
c) determine as imagens de utilizando nos itens a) e b).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear juntos! O enunciado pede para determinar a imagem do vetor usando a fórmula . Aqui, estamos trabalhando com uma aplicação linear definida por . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar a transformação linear como uma matriz e como multiplicar essa matriz pelo vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Essa notação representa a matriz da transformação linear em relação às bases do espaço de partida () e do espaço de chegada (). No nosso caso, vamos assumir que estamos trabalhando com as bases canônicas, ou seja, em e em .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a matriz . Para isso, aplicamos a transformação a cada um dos vetores da base de e expressamos o resultado em termos da base .
Vamos calcular:
Então, a matriz fica assim:
Passo 4
Em seguida, representamos o vetor na base , que no caso da base canônica é simplesmente .
Passo 5
Agora, fazemos a multiplicação da matriz [T v]beta = [T]beta^beta' cdot [v]beta = 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 cdot 1 2 1 pelo vetor :