Encontre as coordenadas do vetor (4,6,7) de R^3 em relação as seguintes bases: de

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar as coordenadas do vetor b1 = (3,3,3), b2 = (2,5,-3), b3 = (-1,3,3) no espaço em relação à base , onde:
Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Sabemos que qualquer vetor v = c1 b1 + c2 b2 + c3 b3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base :
onde são as coordenadas que queremos encontrar.

Passo 3

Substituindo os valores das bases e do vetor (4,6,7) = c1 (3,3,3) + c2 (2,5,-3) + c3 (-1,3,3) :
3c1 + 2c2 - c3 = 4 3c1 + 5c2 + 3c3 = 6 3c1 - 3c2 + 3c3 = 7
Isso resulta no seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, podemos simplificar as equações:
  1. Primeira Equação:
    3c1 + 2c2 - c3 = 4
  2. Segunda Equação:
    3c1 + 5c2 + 3c3 = 6
  3. Terceira Equação:
    3c1 - 3c2 + 3c3 = 7
Podemos resolver esse sistema utilizando métodos como substituição ou eliminação. Vamos utilizar o método da eliminação:
  • Passo 4.1: Subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (3c1 + 5c2 + 3c3) - (3c1 + 2c2 - c3) = 6 - 4 :
3c2 + 4c3 = 2 (Equação 4)
(3c1 - 3c2 + 3c3) - (3c1 + 2c2 - c3) = 7 - 4 çã
  • Passo 4.2: Subtrair a primeira equação da terceira para eliminar -5c2 + 4c3 = 3 (Equação 5) :
3c2 + 4c3 = 2 -5c2 + 4c3 = 3
(-5c2 + 4c3) - (3c2 + 4c3) = 3 - 2 çã
  • Passo 4.3: Agora, temos um sistema com duas equações:
-8c2 = 1 implies c2 = -18
Podemos subtrair a Equação 4 da Equação 5 para eliminar 3(-18) + 4c3 = 2 :
-38 + 4c3 = 2
4c3 = 2 + 38 = 198 implies c3 = 1932
  • Passo 4.4: Substituir 3c1 + 2(-18) - 1932 = 4 na Equação 4 para encontrar 3c1 - 14 - 1932 = 4 :
3c1 = 4 + 14 + 1932 = 14932
c1 = 14996
  • Passo 4.5: Por fim, substituir e na primeira equação para encontrar :

Resposta

As coordenadas do vetor em relação à base são aproximadamente .

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