Encontre as coordenadas do vetor
de
em relação as seguintes bases:
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar as coordenadas do vetor
no espaço
em relação à base
, onde:
Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Sabemos que qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
:
onde
são as coordenadas que queremos encontrar.
Passo 3
Substituindo os valores das bases e do vetor
:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, podemos simplificar as equações:
-
Primeira Equação:
3c1 + 2c2 - c3 = 4 -
Segunda Equação:
3c1 + 5c2 + 3c3 = 6 -
Terceira Equação:
3c1 - 3c2 + 3c3 = 7
Podemos resolver esse sistema utilizando métodos como substituição ou eliminação. Vamos utilizar o método da eliminação:
- Passo 4.1: Subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
:(3c1 + 5c2 + 3c3) - (3c1 + 2c2 - c3) = 6 - 4
- Passo 4.2: Subtrair a primeira equação da terceira para eliminar
:-5c2 + 4c3 = 3 (Equação 5)
- Passo 4.3: Agora, temos um sistema com duas equações:
Podemos subtrair a Equação 4 da Equação 5 para eliminar
3(-18) + 4c3 = 2 :
- Passo 4.4: Substituir
na Equação 4 para encontrar3c1 + 2(-18) - 1932 = 4 :3c1 - 14 - 1932 = 4
- Passo 4.5: Por fim, substituir
e na primeira equação para encontrar :
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação à base
são aproximadamente
.