Exercício 6 - Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um hiperboloide de uma folha e faça um esboço da superfície.
(a) x^2-4 y^2+2 z^2-8=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa transformar a equação na forma padrão da equação de um hiperboloide de uma folha. Isso faz parte de Geometria Analítica, especificamente no estudo das superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e ajustar os coeficientes para chegar na forma que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar todos os termos com as variáveis de um lado e o número do outro:
x^2 - 4 y^2 + 2 z^2 = 8
Agora, queremos expressar essa equação de forma que cada termo com variável seja dividido por um número para que o lado direito da equação seja igual a 1. Para isso, vamos dividir toda a equação por 8:
x^28 - 4 y^28 + 2 z^28 = 1
Simplificando cada fração:
x^28 - y^22 + z^24 = 1
Agora, vamos reescrever a equação para combinar os termos com sinais positivos e negativos, de acordo com a forma padrão do hiperboloide de uma folha:
x^28 - ( y^22 - z^24 ) = 1
Isso nos dá a equação na forma padrão de um hiperboloide de uma folha:
x^2a^2 - y^2b^2 - z^2c^2 = 1
Onde , e .

Resposta

A equação x^28 - y^22 - z^24 = 1 reduzida à forma padrão de um hiperboloide de uma folha é:
Para esboçar a superfície, imagine um hiperboloide que se abre ao longo do eixo , com interseções com os planos coordenados determinadas pelos valores de , e . A superfície terá duas “folhas” simétricas em relação ao plano .

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