Exercício 6 - Reduza cada uma das equações à forma padrão da equação de um hiperboloide de uma folha e faça um esboço da superfície.
(a)
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(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa transformar a equação
na forma padrão da equação de um hiperboloide de uma folha. Isso faz parte de Geometria Analítica, especificamente no estudo das superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e ajustar os coeficientes para chegar na forma que conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar todos os termos com as variáveis de um lado e o número do outro:
Agora, queremos expressar essa equação de forma que cada termo com variável seja dividido por um número para que o lado direito da equação seja igual a 1. Para isso, vamos dividir toda a equação por 8:
Simplificando cada fração:
Agora, vamos reescrever a equação para combinar os termos com sinais positivos e negativos, de acordo com a forma padrão do hiperboloide de uma folha:
Isso nos dá a equação na forma padrão de um hiperboloide de uma folha:
Onde
,
e
.
Resposta
A equação
reduzida à forma padrão de um hiperboloide de uma folha é:
Para esboçar a superfície, imagine um hiperboloide que se abre ao longo do eixo
, com interseções com os planos coordenados determinadas pelos valores de
,
e
. A superfície terá duas “folhas” simétricas em relação ao plano
.