Determine: © A função de distribuição acumulada de W juntamente com seu gráfico.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar a função de distribuição acumulada (FDA) de uma variável aleatória e também desenhar o seu gráfico. A matéria envolvida aqui é Probabilidade e Estatística, especificamente o estudo das distribuições de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a FDA a partir da função densidade de probabilidade (se for contínua) ou da função de massa de probabilidade (se for discreta).

Passo 2

A função de distribuição acumulada, FW(w) = P(W <= w) , de uma variável aleatória nos dá a probabilidade de que seja menor ou igual a um valor específico . Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Para encontrar FW(w) = integral-infty^w fW(t) , dt , precisamos saber se FW(w) = sumt <= w P(W = t) é uma variável aleatória contínua ou discreta.
  • Se for contínua, é a integral da função densidade de probabilidade de menos infinito até :
  • Se for discreta, é a soma das probabilidades de todos os valores de que são menores ou iguais a :

Passo 4

Vamos supor que 2w & se 0 <= w <= 1 0 & caso contrário seja uma variável aleatória contínua e que conhecemos a sua função densidade de probabilidade FW(w) = integral0^w 2t , dt = [t^2]0^w = w^2 . Para encontrar , vamos integrar de menos infinito até .
Exemplo Simplificado:
Suponha que á
Então, para encontrar :
para .

Passo 5

Agora, vamos desenhar o gráfico da FDA . No nosso exemplo simplificado, onde para , o gráfico será uma parábola que começa em e termina em .
Para outro intervalo:
  • Para , porque a probabilidade acumulada antes de 0 é zero.
  • Para , porque a probabilidade acumulada depois de 1 é 100%.

Resposta

A função de distribuição acumulada de FW(w) = 0 & se w < 0 w^2 & se 0 <= w <= 1 1 & se w > 1 é:
E o gráfico de é uma curva que começa em , aumenta quadradamente até , permanecendo constante em 1 para valores de maiores que 1.

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