Sejam v1=(0,0,0), v2=(-1,0,2), v3=(-1,1,2), v4=(0,1,0) e v5=(1,1,1). Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
e) O conjunto v2, v3, v5 é LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto de vetores v2, v3, v5 é linearmente independente (LI). Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como podemos testar isso usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos:
av2 + bv3 + cv5 = 0
A única solução para os coeficientes a, b e c deve ser a = b = c = 0. Se existir outra solução, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são dependentes.
Vamos montar a matriz A com os vetores v2, v3 e v5:
A = -1 & -1 & 1 0 & 1 & 1 2 & 2 & 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A. O determinante para uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = (-1)(1 cdot 1 - 1 cdot 2) - (-1)(0 cdot 1 - 1 cdot 2) + 1(0 cdot 2 - 1 cdot 1)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. Primeiro termo:
-1 times (1 times 1 - 1 times 2) = -1 times (1 - 2) = -1 times (-1) = 1
  1. Segundo termo:
-(-1) times (0 times 1 - 1 times 2) = 1 times (0 - 2) = 1 times (-2) = -2
  1. Terceiro termo:
1 times (0 times 2 - 1 times 1) = 1 times (0 - 1) = 1 times (-1) = -1

Passo 6

Somando todos os termos:
det(A) = 1 - 2 - 1 = -2

Passo 7

O determinante da matriz A é -2, que é diferente de zero. Isso significa que a única solução para a combinação linear dos vetores é a trivial, onde a = b = c = 0.

Resposta

Verdadeiro. O conjunto v2, v3, v5 é linearmente independente, pois o determinante da matriz formada por esses vetores é diferente de zero.

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