Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
e) O conjunto é LI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto de vetores é linearmente independente (LI). Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre independência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como podemos testar isso usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores é linearmente independente. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos:
A única solução para os coeficientes , e deve ser . Se existir outra solução, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com os vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são dependentes.
Vamos montar a matriz com os vetores , e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A. O determinante para uma matriz 3 times 3 é dado por:
-1 times (1 times 1 - 1 times 2) = -1 times (1 - 2) = -1 times (-1) = 1
Segundo termo:
-(-1) times (0 times 1 - 1 times 2) = 1 times (0 - 2) = 1 times (-2) = -2
Terceiro termo:
1 times (0 times 2 - 1 times 1) = 1 times (0 - 1) = 1 times (-1) = -1
Passo 6
Somando todos os termos:
det(A) = 1 - 2 - 1 = -2
Passo 7
O determinante da matriz A é -2, que é diferente de zero. Isso significa que a única solução para a combinação linear dos vetores é a trivial, onde a = b = c = 0.
Resposta
Verdadeiro. O conjunto v2, v3, v5 é linearmente independente, pois o determinante da matriz formada por esses vetores é diferente de zero.