Seja a matriz:
(a) (5 pontos) Encontre o determinante de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o determinante da matriz . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é determinante e como calculá-lo, especialmente quando a matriz tem uma estrutura especial, como ser triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz :
Perceba que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Isso significa que é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Uma propriedade super útil das matrizes triangulares é que o determinante delas é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Isso facilita muito a nossa vida, porque calcular determinantes de matrizes grandes pode ser complicado, mas essa regra simplifica tudo!

Passo 4

Vamos identificar os elementos da diagonal principal de :
  • Primeiro elemento: 2
  • Segundo elemento: 1
  • Terceiro elemento: -1
  • Quarto elemento: 3

Passo 5

Agora, basta multiplicar esses elementos para encontrar o determinante:

Passo 6

Fazendo as contas:

Resposta

O determinante da matriz é .

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Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(j) .
Quais das seguintes estruturas são espaços vetoriais reais ( representa um conjunto, e representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:
Considere os vetores e . Para quais valores de os vetores e são ortonormais em relação ao produto interno de ?
Considere os pontos e .
(a) Determine a área do triângulo cujos vértices são formados pelos pontos e .