Considere os vetores u=2 i-j, v=j+2 k, e w=i+2 k M
(a) Mostre que u, v e w formam uma base para R^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que os vetores u = 2 i - j, v = j + 2 k e w = i + 2 k formam uma base para R^3. Isso está ligado ao conteúdo de espaços vetoriais e bases. Para provar que esses vetores formam uma base, precisamos mostrar que eles são linearmente independentes e que span todo o espaço R^3. Uma maneira fácil de fazer isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores e verificar se ele é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores u, v e w como colunas de uma matriz. Assim, temos:
A = 2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 2 & 2
Aqui, cada coluna representa um dos vetores dados.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A. O determinante nos diz se os vetores são linearmente independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base para R^3.

Passo 4

Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para calcular o determinante. Aqui, vamos expandir pelo primeiro elemento da primeira linha:
det(A) = 2 cdot 1 & 0 2 & 2 - 0 cdot -1 & 0 0 & 2 + 1 cdot -1 & 1 0 & 2
Calculando os menores:
det(A) = 2 cdot (1 cdot 2 - 0 cdot 2) - 0 + 1 cdot (-1 cdot 2 - 1 cdot 0) = 2 cdot 2 + (-2) = 4 - 2 = 2

Passo 5

O determinante de A é 2, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores u, v e w são linearmente independentes.

Passo 6

Como temos três vetores linearmente independentes em R^3, isso também significa que eles span todo o espaço R^3. Ou seja, qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.

Resposta

Os vetores u, v e w formam uma base para R^3, pois são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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