Considere os vetores
(a) Mostre que , e formam uma base para ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que os vetores , e formam uma base para . Isso está ligado ao conteúdo de espaços vetoriais e bases. Para provar que esses vetores formam uma base, precisamos mostrar que eles são linearmente independentes e que span todo o espaço . Uma maneira fácil de fazer isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores e verificar se ele é diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores , e como colunas de uma matriz. Assim, temos:
Aqui, cada coluna representa um dos vetores dados.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A. O determinante nos diz se os vetores são linearmente independentes. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e, portanto, formam uma base para R^3.
Passo 4
Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para calcular o determinante. Aqui, vamos expandir pelo primeiro elemento da primeira linha:
O determinante de A é 2, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores u, v e w são linearmente independentes.
Passo 6
Como temos três vetores linearmente independentes em R^3, isso também significa que eles span todo o espaço R^3. Ou seja, qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.
Resposta
Os vetores u, v e w formam uma base para R^3, pois são linearmente independentes e geram todo o espaço.