Nos itens abaixo W não é um subespaço do espaço vetorial euclidiano. Verifique isso dando um exemplo específico que viole o teste para o subespaço vetorial: W é o conjunto de todos os vetores em R^3 em que temos W=(a, b, c) in R^3 mid a^2+b^2+c^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é definido como todos os vetores em que satisfazem . A matéria que estamos estudando aqui é espaços vetoriais e subespaços vetoriais. Nosso objetivo é verificar se é um subespaço, e para isso, precisamos usar os testes para subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se satisfizer três condições:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se dois vetores estão em , então a soma deles também está em (fechamento sob adição).
  3. Se um vetor está em , então qualquer múltiplo escalar desse vetor também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).

Passo 3

Agora, vamos verificar se 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 <= 1 satisfaz essas condições. Começamos pelo primeiro teste:
Teste 1: O vetor zero está em ?
O vetor zero em é . Vamos ver se ele está em :
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

Teste 2: 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1 <= 1 é fechado sob adição?
Vamos pegar dois vetores quaisquer em 0^2 + 1^2 + 0^2 = 1 <= 1 . Por exemplo, u + v = (1+0, 0+1, 0+0) = (1, 1, 0) e 1^2 + 1^2 + 0^2 = 1 + 1 + 0 = 2 <= 1 .
Ambos estão em porque:
Agora, somamos e :
Vamos verificar se está em :
Isso não é verdadeiro, pois . Portanto, não está em .

Passo 5

Como encontramos que a soma de dois vetores em não está mais em , podemos concluir que não é fechado sob adição. Não precisamos verificar os outros testes, pois já falhamos em um deles.

Resposta

Portanto, não é um subespaço do espaço vetorial porque não é fechado sob adição.

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