Nos itens abaixo W não é um subespaço do espaço vetorial euclidiano. Verifique isso dando um exemplo específico que viole o teste para o subespaço vetorial:
é o conjunto de todos os vetores em
em que temos
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que é definido como todos os vetores em
que satisfazem
. A matéria que estamos estudando aqui é espaços vetoriais e subespaços vetoriais. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço, e para isso, precisamos usar os testes para subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se satisfizer três condições:
- O vetor zero está em
. - Se dois vetores estão em
, então a soma deles também está em (fechamento sob adição). - Se um vetor está em
, então qualquer múltiplo escalar desse vetor também está em (fechamento sob multiplicação por escalar).
Passo 3
Agora, vamos verificar se
satisfaz essas condições. Começamos pelo primeiro teste:
Teste 1: O vetor zero está em
?
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
Teste 2:
é fechado sob adição?
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Por exemplo,
e
.
Ambos estão em
porque:
Agora, somamos
e
:
Vamos verificar se
está em
:
Isso não é verdadeiro, pois
. Portanto,
não está em
.
Passo 5
Como encontramos que a soma de dois vetores em
não está mais em
, podemos concluir que
não é fechado sob adição. Não precisamos verificar os outros testes, pois já falhamos em um deles.
Resposta
Portanto,
não é um subespaço do espaço vetorial
porque não é fechado sob adição.