Dadas as funções
e
, determine condições sobre
e
para que
, quando:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções:
Nosso objetivo é encontrar as condições para os valores de
e
de forma que a composição das funções
seja igual à composição
. Ou seja, queremos que
para todo
real.
Para resolver isso, vamos calcular as duas composições e igualar os resultados, resolvendo para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa substituirmos
dentro de
.
Então,
Vamos distribuir o 3:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Da mesma forma, substituímos
dentro de
.
Então,
Distribuindo o
:
Passo 4
Agora, queremos que
para todo
. Isso significa que os coeficientes das
e os termos constantes devem ser iguais nas duas expressões.
Temos:
Observando os coeficientes de
, vemos que
, que já está igualado. Agora, igualamos os termos constantes:
Passo 5
Vamos resolver a equação
para encontrar a relação entre
e
.
Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Finalmente, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
Para que
, os parâmetros devem satisfazer
.