Dadas as funções f(x)=3 x+m e g(x)=a x+2, determine condições sobre a e m para que (f circ g)(x)=(g circ f)(x), quando:
f: R R e g: R R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções:
Nosso objetivo é encontrar as condições para os valores de e de forma que a composição das funções seja igual à composição . Ou seja, queremos que para todo real.
Para resolver isso, vamos calcular as duas composições e igualar os resultados, resolvendo para e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(g(x)) = f(a x + 2) = 3(a x + 2) + m . Isso significa substituirmos f(g(x)) = 3a x + 6 + m dentro de f(g(x)) = 3a x + (m + 6) .
Então,
Vamos distribuir o 3:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular g(f(x)) = g(3x + m) = a (3x + m) + 2 . Da mesma forma, substituímos g(f(x)) = 3a x + a m + 2 dentro de .
Então,
Distribuindo o :

Passo 4

Agora, queremos que 3a x + (m + 6) = 3a x + a m + 2 para todo m + 6 = a m + 2 . Isso significa que os coeficientes das e os termos constantes devem ser iguais nas duas expressões.
Temos:
Observando os coeficientes de , vemos que , que já está igualado. Agora, igualamos os termos constantes:

Passo 5

Vamos resolver a equação m + 6 - a m = 2 para encontrar a relação entre m(1 - a) + 6 = 2 e m(1 - a) = 2 - 6 .
Primeiro, subtraímos m(1 - a) = -4 de ambos os lados:
m = -41 - a
Fatorando :
Agora, isolamos :
Finalmente, dividimos ambos os lados por :

Resposta

Para que , os parâmetros devem satisfazer .

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