Dado o sistema
Simulado Avaliação I - Álgebra Linear
c 3 x+5 y=1 2 x+z=3 5 x+y-z=0
a) Escreva a matriz ampliada associada ao sistema e reduza-a à forma escada reduzida por linhas para resolver o sistema original.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e . O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a parte de matrizes e o método de eliminação para reduzir a matriz ampliada à forma escada. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz ampliada do sistema e aplicar operações elementares nas linhas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz ampliada do sistema. A matriz ampliada inclui os coeficientes das incógnitas e os termos independentes. Assim, para o sistema:
c 3x + 5y = 1 2x + z = 3 5x + y - z = 0
A matriz ampliada fica:
3 & 5 & 0 & | & 1 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos começar a reduzir essa matriz para a forma escada. O objetivo é ter zeros abaixo dos pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha).
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar o 3 & 5 & 0 & | & 1 0 & -103 & 1 & | & 73 0 & -223 & -1 & | & -53 das outras linhas. Para isso, vamos:
  • Multiplicar a primeira linha por e subtrair da segunda linha.
  • Multiplicar a primeira linha por e subtrair da terceira linha.
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o coeficiente de 3 & 5 & 0 & | & 1 0 & 1 & -310 & | & -710 0 & -223 & -1 & | & -53 na segunda linha seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por :

Passo 5

Com o 3 & 5 & 0 & | & 1 0 & 1 & -310 & | & -710 0 & 0 & -195 & | & -115 já ajustado na segunda linha, vamos usar essa linha para eliminar o da terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por e somamos à terceira linha:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a terceira linha para facilitar a resolução. Multiplicamos a terceira linha por 3 & 5 & 0 & | & 1 0 & 1 & -310 & | & -710 0 & 0 & 1 & | & 1119 :

Passo 7

Com a matriz na forma escada, podemos resolver as equações de baixo para cima:
  1. Da terceira linha:
  2. Da segunda linha: . Substituindo , temos , o que nos dá .
  3. Da primeira linha: . Substituindo , temos , resultando em , ou seja, .

Resposta

A solução do sistema é:
x = 2738, y = -91190, z = 1119

Exercícios relacionados