Considere os vetores
e
. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
é uma base ortogonal de
.
Passo 1
Vamos resumir o exercício. Temos três vetores
,
e
. O objetivo é determinar se o conjunto
forma uma base ortogonal de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases ortogonais e como verificar se um conjunto de vetores é ortogonal e gera todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base ortogonal. Uma base de um espaço vetorial como
é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que, juntos, conseguem gerar qualquer vetor do espaço. Além disso, uma base é chamada de ortogonal se todos os vetores da base são perpendiculares entre si. Isso significa que o produto interno (ou produto escalar) entre quaisquer dois vetores diferentes da base é igual a zero.
Passo 3
Para verificar se
é uma base ortogonal, precisamos verificar duas coisas:
- Ortogonalidade: Todos os pares de vetores devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre cada par deve ser zero.
- Linearmente Independentes: Os vetores devem ser linearmente independentes para que possam gerar todo o espaço
.
Passo 4
Vamos começar verificando a ortogonalidade. Isso significa que precisamos calcular o produto escalar entre cada par de vetores:
Se todos esses produtos forem iguais a zero, os vetores são ortogonais entre si.
Passo 5
Calculando o produto escalar
:
Como resultado,
e
são perpendiculares.
Passo 6
Calculando o produto escalar
:
Aqui, o resultado não é zero, o que significa que
e
não são perpendiculares.
Passo 7
Calculando o produto escalar
:
Novamente, o resultado não é zero, então
e
não são perpendiculares.
Passo 8
Como nem todos os produtos escalares entre os pares de vetores são iguais a zero, concluímos que os vetores
,
e
não são mutuamente ortogonais.
Passo 9
Mesmo que os vetores fossem ortogonais, precisaríamos verificar se eles são linearmente independentes para que formassem uma base de
. No entanto, como já não são ortogonais, não precisamos prosseguir com essa verificação para concluir que
não é uma base ortogonal.
Resposta
Falso. O conjunto
não é uma base ortogonal de
, pois nem todos os pares de vetores são mutuamente perpendiculares.
Exercícios relacionados
Sejam
, e
.
Determine todos os valores de m para os quais .
Determine todos os valores de m para os quais
Seja
um subconjunto do
.
Encontre o complemento ortogonal de
.
Encontre
Sendo
e
vetores genéricos do
. Definamos
, com a,b escalares reais fixos e não nulos. Mostre que
define um produto interno sobre o
.
Determine os autovalores e os autovetores de
.