Considere os vetores u=i+-1 j+2 k, v=i+1 j e w=-1 i+2 j+1 k. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
u, v, w é uma base ortogonal de R^3.

Passo 1

Vamos resumir o exercício. Temos três vetores , e . O objetivo é determinar se o conjunto forma uma base ortogonal de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são bases ortogonais e como verificar se um conjunto de vetores é ortogonal e gera todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base ortogonal. Uma base de um espaço vetorial como é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que, juntos, conseguem gerar qualquer vetor do espaço. Além disso, uma base é chamada de ortogonal se todos os vetores da base são perpendiculares entre si. Isso significa que o produto interno (ou produto escalar) entre quaisquer dois vetores diferentes da base é igual a zero.

Passo 3

Para verificar se é uma base ortogonal, precisamos verificar duas coisas:
  1. Ortogonalidade: Todos os pares de vetores devem ser perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre cada par deve ser zero.
  2. Linearmente Independentes: Os vetores devem ser linearmente independentes para que possam gerar todo o espaço .

Passo 4

Vamos começar verificando a ortogonalidade. Isso significa que precisamos calcular o produto escalar entre cada par de vetores:
Se todos esses produtos forem iguais a zero, os vetores são ortogonais entre si.

Passo 5

Calculando o produto escalar u cdot v = (1)(1) + (-1)(1) + (2)(0) = 1 - 1 + 0 = 0 :
Como resultado, e são perpendiculares.

Passo 6

Calculando o produto escalar u cdot w = (1)(-1) + (-1)(2) + (2)(1) = -1 - 2 + 2 = -1 :
Aqui, o resultado não é zero, o que significa que e não são perpendiculares.

Passo 7

Calculando o produto escalar v cdot w = (1)(-1) + (1)(2) + (0)(1) = -1 + 2 + 0 = 1 :
Novamente, o resultado não é zero, então e não são perpendiculares.

Passo 8

Como nem todos os produtos escalares entre os pares de vetores são iguais a zero, concluímos que os vetores , e não são mutuamente ortogonais.

Passo 9

Mesmo que os vetores fossem ortogonais, precisaríamos verificar se eles são linearmente independentes para que formassem uma base de . No entanto, como já não são ortogonais, não precisamos prosseguir com essa verificação para concluir que não é uma base ortogonal.

Resposta

Falso. O conjunto não é uma base ortogonal de , pois nem todos os pares de vetores são mutuamente perpendiculares.

Exercícios relacionados