Sejam S=[(0,2,-1,0,1),(0,0,3,-1,2),(0,4,-5,1,0)], e v=(0, m,-m, 1,1).
Determine todos os valores de m para os quais v in S.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores e um vetor . A questão pede para achar todos os valores de tal que o vetor pertença ao conjunto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o vetor pertence a se e somente se ele pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores que estão em . Ou seja, existe uma combinação dos vetores de que resulta no vetor .

Passo 3

Vamos chamar os vetores de v = au1 + bu2 + cu3 de 0 = 0a + 0b + 0c m = 2a + 0b + 4c -m = -a + 3b -5c 1 = 0a - b + c 1 = a + 2b + 0c , e . Queremos encontrar escalares tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. A primeira equação já está satisfeita (0 = 0). Agora, da quarta equação:
1 = -b + c implies c = b + 1
Da quinta equação:
1 = a + 2b implies a = 1 - 2b
Agora, substituímos e nas outras equações.

Passo 5

Substituindo na segunda equação:
m = 2(1 - 2b) + 4(b + 1) = 2 - 4b + 4b + 4 = 6
Então, .

Passo 6

Agora, substituímos -6 = -(1 - 2b) + 3b - 5(b + 1) = -1 + 2b + 3b -5b -5 = -6 e na terceira equação:
Tudo confere!

Resposta

O valor de que faz com que pertença a é .

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