Seja S=(x, y, z, t) ; y-z+2 t=0, x=2 t um subconjunto do R^4.
Encontre S^perp= o complemento ortogonal de S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto no espaço definido pelas equações e . A missão aqui é encontrar o complemento ortogonal de , que a gente chama de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais e como identificar vetores que são “perpendiculares” a todo mundo em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . As equações dadas definem todos os vetores que satisfazem e . Isso significa que podemos expressar em termos de e em termos de e . Assim, é um subespaço de com duas variáveis livres ( e ), então a dimensão de é 2.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o complemento ortogonal . Esse conjunto inclui todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor em . Ou seja, se está em , então o produto interno entre e qualquer vetor em deve ser zero.

Passo 4

Vamos expressar genericamente um vetor em . A partir das equações e , podemos escrever qualquer vetor em como , onde e são números reais.

Passo 5

Agora, calculamos o produto interno entre a cdot 2t + b cdot (z - 2t) + c cdot z + d cdot t = 0 e um vetor genérico de 2a t + b z - 2b t + c z + d t = 0 :
(2a - 2b + d) t + (b + c) z = 0
Simplificando, temos:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade valha para todos os valores de e , os coeficientes de e devem ser zero.

Passo 6

Assim, temos o seguinte sistema de equações:
2a - 2b + d = 0 b + c = 0
Resolvendo esse sistema, podemos expressar d = -2a + 2b em termos de e :
E .

Passo 7

Portanto, os vetores em (a, b, -b, -2a + 2b) têm a forma:
a cdot (1, 0, 0, -2) + b cdot (0, 1, -1, 2)
Podemos fatorar e para escrever de forma mais clara:
Isso mostra que é gerado pelos vetores e .

Resposta

O complemento ortogonal de S^perp = , a cdot (1, 0, 0, -2) + b cdot (0, 1, -1, 2) ; a, b in R , é dado por:

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