Seja um subconjunto do .
Encontre o complemento ortogonal de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto no espaço definido pelas equações e . A missão aqui é encontrar o complemento ortogonal de , que a gente chama de . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais e como identificar vetores que são “perpendiculares” a todo mundo em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . As equações dadas definem todos os vetores que satisfazem e . Isso significa que podemos expressar em termos de e em termos de e . Assim, é um subespaço de com duas variáveis livres ( e ), então a dimensão de é 2.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o complemento ortogonal . Esse conjunto inclui todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor em . Ou seja, se está em , então o produto interno entre e qualquer vetor em deve ser zero.

Passo 4

Vamos expressar genericamente um vetor em . A partir das equações e , podemos escrever qualquer vetor em como , onde e são números reais.

Passo 5

Agora, calculamos o produto interno entre e um vetor genérico de :
Simplificando, temos:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade valha para todos os valores de e , os coeficientes de e devem ser zero.

Passo 6

Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, podemos expressar em termos de e :
E .

Passo 7

Portanto, os vetores em têm a forma:
Podemos fatorar e para escrever de forma mais clara:
Isso mostra que é gerado pelos vetores e .

Resposta

O complemento ortogonal de é dado por:

Exercícios relacionados

Sejam e dois subconjuntos do .
Prove que .
Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
Sejam , e .
Determine todos os valores de m para os quais .
Considere os vetores e . Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
é uma base ortogonal de .