Seja
um subconjunto do
.
Encontre
o complemento ortogonal de
.
Encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto
no espaço
definido pelas equações
e
. A missão aqui é encontrar o complemento ortogonal de
, que a gente chama de
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais e como identificar vetores que são “perpendiculares” a todo mundo em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. As equações dadas definem todos os vetores
que satisfazem
e
. Isso significa que podemos expressar
em termos de
e
em termos de
e
. Assim,
é um subespaço de
com duas variáveis livres (
e
), então a dimensão de
é 2.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o complemento ortogonal
. Esse conjunto inclui todos os vetores em
que são ortogonais a cada vetor em
. Ou seja, se
está em
, então o produto interno entre
e qualquer vetor em
deve ser zero.
Passo 4
Vamos expressar genericamente um vetor em
. A partir das equações
e
, podemos escrever qualquer vetor em
como
, onde
e
são números reais.
Passo 5
Agora, calculamos o produto interno entre
e um vetor genérico de
:
Simplificando, temos:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade valha para todos os valores de
e
, os coeficientes de
e
devem ser zero.
Passo 6
Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, podemos expressar
em termos de
e
:
E
.
Passo 7
Portanto, os vetores em
têm a forma:
Podemos fatorar
e
para escrever de forma mais clara:
Isso mostra que
é gerado pelos vetores
e
.
Resposta
O complemento ortogonal de
é dado por:
Exercícios relacionados
Sejam
e
dois subconjuntos do
.
Prove que .
Prove que
Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares abaixo:
Sejam
, e
.
Determine todos os valores de m para os quais .
Determine todos os valores de m para os quais
Considere os vetores
e
. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
é uma base ortogonal de
.