Sendo e vetores genéricos do . Definamos , com a,b escalares reais fixos e não nulos. Mostre que define um produto interno sobre o .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede pra mostrar que uma certa operação entre dois vetores no plano define um produto interno. Estamos lidando com vetores no e a operação definida é:
A matéria aqui é produto interno, e pra resolver isso, vamos lembrar que um produto interno precisa satisfazer algumas propriedades básicas. Vamos precisar verificar essas propriedades passo a passo para confirmar que realmente temos um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é um produto interno. Em termos simples, um produto interno é uma forma de multiplicar dois vetores que resulta num número real e que satisfaz algumas regras, como ser linear, simétrico e positivo definido.
As propriedades que precisamos verificar são:
  1. Linearidade em cada argumento: Isso significa que o produto interno é linear em relação a cada um dos vetores separadamente.
  2. Simetria: A ordem dos vetores não altera o resultado, ou seja, .
  3. Positividade: O produto interno de um vetor consigo mesmo é sempre positivo, e só é zero se o vetor for o vetor nulo.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a operação dada.

Passo 3

1. Linearidade em cada argumento:
Vamos verificar se a operação é linear em relação ao primeiro vetor . Ou seja, queremos ver se para quaisquer vetores e escalar ,
Vamos calcular o lado esquerdo:
Distribuindo o :
Isso é igual a:
Então, a linearidade no primeiro argumento está funcionando. O mesmo vale para o segundo argumento por simetria da expressão.

Passo 4

2. Simetria:
Agora, vamos verificar se .
Calculando :
Observamos que:
Portanto,
Assim, a simetria está garantida.

Passo 5

3. Positividade:
Por último, vamos ver se e que é igual a zero se e só se for o vetor nulo.
Calculando :
Como e são números reais fixos e não nulos, e são sempre não negativos, já que quadrado de um número é não negativo dividido por um número ao quadrado também é não negativo.
Então,
E igual a zero somente quando e , ou seja, quando é o vetor nulo.

Resposta

Concluímos que a operação satisfaz todas as propriedades de um produto interno no . Portanto, define de fato um produto interno sobre o .

Exercícios relacionados

Considere os vetores e . Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
é uma base ortogonal de .
Sejam , e .
Determine todos os valores de m para os quais .
Determine os autovalores e os autovetores de .
Seja à base do , dada por , . Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.