Sendo
e
vetores genéricos do
. Definamos
, com a,b escalares reais fixos e não nulos. Mostre que
define um produto interno sobre o
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede pra mostrar que uma certa operação entre dois vetores no plano define um produto interno. Estamos lidando com vetores no
e a operação definida é:
A matéria aqui é produto interno, e pra resolver isso, vamos lembrar que um produto interno precisa satisfazer algumas propriedades básicas. Vamos precisar verificar essas propriedades passo a passo para confirmar que realmente temos um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é um produto interno. Em termos simples, um produto interno é uma forma de multiplicar dois vetores que resulta num número real e que satisfaz algumas regras, como ser linear, simétrico e positivo definido.
As propriedades que precisamos verificar são:
- Linearidade em cada argumento: Isso significa que o produto interno é linear em relação a cada um dos vetores separadamente.
- Simetria: A ordem dos vetores não altera o resultado, ou seja,
. - Positividade: O produto interno de um vetor consigo mesmo é sempre positivo, e só é zero se o vetor for o vetor nulo.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a operação dada.
Passo 3
1. Linearidade em cada argumento:
Vamos verificar se a operação é linear em relação ao primeiro vetor
. Ou seja, queremos ver se para quaisquer vetores
e escalar
,
Vamos calcular o lado esquerdo:
Distribuindo o
:
Isso é igual a:
Então, a linearidade no primeiro argumento está funcionando. O mesmo vale para o segundo argumento por simetria da expressão.
Passo 4
2. Simetria:
Agora, vamos verificar se
.
Calculando
:
Observamos que:
Portanto,
Assim, a simetria está garantida.
Passo 5
3. Positividade:
Por último, vamos ver se
e que é igual a zero se e só se
for o vetor nulo.
Calculando
:
Como
e
são números reais fixos e não nulos,
e
são sempre não negativos, já que quadrado de um número é não negativo dividido por um número ao quadrado também é não negativo.
Então,
E igual a zero somente quando
e
, ou seja, quando
é o vetor nulo.
Resposta
Concluímos que a operação
satisfaz todas as propriedades de um produto interno no
. Portanto,
define de fato um produto interno sobre o
.
Exercícios relacionados
Considere os vetores
e
. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
é uma base ortogonal de
.
Sejam
, e
.
Determine todos os valores de m para os quais .
Determine todos os valores de m para os quais
Determine os autovalores e os autovetores de
.
Seja à base do
, dada por
,
. Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.