Sendo u=(x1, x2) e v=(y1, y2) vetores genéricos do R^2. Definamos =x1 y1a^2+x2 y2b^2, com a,b escalares reais fixos e não nulos. Mostre que define um produto interno sobre o R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que pede pra mostrar que uma certa operação entre dois vetores no plano define um produto interno. Estamos lidando com vetores no R^2 e a operação definida é:
lang<= u, v rang<= = x1 y1a^2 + x2 y2b^2
A matéria aqui é produto interno, e pra resolver isso, vamos lembrar que um produto interno precisa satisfazer algumas propriedades básicas. Vamos precisar verificar essas propriedades passo a passo para confirmar que realmente temos um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é um produto interno. Em termos simples, um produto interno é uma forma de multiplicar dois vetores que resulta num número real e que satisfaz algumas regras, como ser linear, simétrico e positivo definido.
As propriedades que precisamos verificar são:
  1. Linearidade em cada argumento: Isso significa que o produto interno é linear em relação a cada um dos vetores separadamente.
  2. Simetria: A ordem dos vetores não altera o resultado, ou seja, lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=.
  3. Positividade: O produto interno de um vetor consigo mesmo é sempre positivo, e só é zero se o vetor for o vetor nulo.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a operação dada.

Passo 3

1. Linearidade em cada argumento:
Vamos verificar se a operação é linear em relação ao primeiro vetor u. Ou seja, queremos ver se para quaisquer vetores u1, u2 e escalar c,
lang<= cu1 + u2, v rang<= = clang<= u1, v rang<= + lang<= u2, v rang<=
Vamos calcular o lado esquerdo:
lang<= cu1 + u2, v rang<= = (c x11 + x21) y1a^2 + (c x12 + x22) y2b^2
Distribuindo o c:
= c ( x11 y1a^2 + x12 y2b^2 ) + ( x21 y1a^2 + x22 y2b^2 )
Isso é igual a:
clang<= u1, v rang<= + lang<= u2, v rang<=
Então, a linearidade no primeiro argumento está funcionando. O mesmo vale para o segundo argumento por simetria da expressão.

Passo 4

2. Simetria:
Agora, vamos verificar se lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=.
Calculando lang<= v, u rang<=:
lang<= v, u rang<= = y1 x1a^2 + y2 x2b^2
Observamos que:
x1 y1a^2 + x2 y2b^2 = y1 x1a^2 + y2 x2b^2
Portanto,
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Assim, a simetria está garantida.

Passo 5

3. Positividade:
Por último, vamos ver se lang<= u, u rang<= >= 0 e que é igual a zero se e só se u for o vetor nulo.
Calculando lang<= u, u rang<=:
lang<= u, u rang<= = x1^2a^2 + x2^2b^2
Como a e b são números reais fixos e não nulos, x1^2a^2 e x2^2b^2 são sempre não negativos, já que quadrado de um número é não negativo dividido por um número ao quadrado também é não negativo.
Então,
x1^2a^2 + x2^2b^2 >= 0
E igual a zero somente quando x1 = 0 e x2 = 0, ou seja, quando u é o vetor nulo.

Resposta

Concluímos que a operação lang<= u, v rang<= = x1 y1a^2 + x2 y2b^2 satisfaz todas as propriedades de um produto interno no R^2. Portanto, define de fato um produto interno sobre o R^2.

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