Determine os autovalores e os autovetores de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear . Isso está dentro do tema de álgebra linear, especificamente trabalhando com matrizes e vetores. Para resolver, vamos precisar usar o polinômio característico e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação . A transformação pode ser escrita na forma de matriz assim:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, usamos o polinômio característico, que é encontrado calculando o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Substituindo:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Vamos resolver :

[



]
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, vemos que as equações são equivalentes, então podemos escolher :
Então, um autovetor para é:
Para :
Vamos resolver :

[



]
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, novamente as equações são equivalentes. Escolhendo :
Então, um autovetor para é:

Resposta

Os autovalores da transformação são e . Os autovetores correspondentes são:

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