Determine os autovalores e os autovetores de T(x, y)=(4 x+4 y, x+4 y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear . Isso está dentro do tema de álgebra linear, especificamente trabalhando com matrizes e vetores. Para resolver, vamos precisar usar o polinômio característico e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação A = 4 & 4 1 & 4 . A transformação pode ser escrita na forma de matriz assim:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, usamos o polinômio característico, que é encontrado calculando o determinante da matriz det( 4 - lambda & 4 1 & 4 - lambda ) = 0 , onde (4 - lambda)(4 - lambda) - (4 times 1) = 0 (4 - lambda)^2 - 4 = 0 é a matriz identidade e 16 - 8lambda + lambda^2 - 4 = 0 lambda^2 - 8lambda + 12 = 0 representa os autovalores.
lambda = 8 pm raiz64 - 482 = 8 pm raiz162 = 8 pm 42
Substituindo:
lambda1 = 6 e lambda2 = 2
Calculando o determinante:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada 4 - 6 & 4 1 & 4 - 6 x y = -2 & 4 1 & -2 x y = 0 0 .
Para -2x + 4y = 0 x - 2y = 0 :
Vamos resolver x = 2y = 2 times 1 = 2 :

[
v1 = 2 1
4 - 2 & 4 1 & 4 - 2 x y = 2 & 4 1 & 2 x y = 0 0

2x + 4y = 0 x + 2y = 0
x = -2y = -2 times 1 = -2

v2 = -2 1
]
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, vemos que as equações são equivalentes, então podemos escolher :
Então, um autovetor para é:
Para :
Vamos resolver :

[



]
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, novamente as equações são equivalentes. Escolhendo :
Então, um autovetor para é:

Resposta

Os autovalores da transformação v1 = 2 1 , v2 = -2 1 são e . Os autovetores correspondentes são:

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