Determine os autovalores e os autovetores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores da transformação linear
. Isso está dentro do tema de álgebra linear, especificamente trabalhando com matrizes e vetores. Para resolver, vamos precisar usar o polinômio característico e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação
. A transformação
pode ser escrita na forma de matriz assim:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, usamos o polinômio característico, que é encontrado calculando o determinante da matriz
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Substituindo:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Vamos resolver
:
[
]
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, vemos que as equações são equivalentes, então podemos escolher
:
Então, um autovetor para
é:
Para
:
Vamos resolver
:
[
]
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, novamente as equações são equivalentes. Escolhendo
:
Então, um autovetor para
é:
Resposta
Os autovalores da transformação
são
e
. Os autovetores correspondentes são:
Exercícios relacionados
Sendo
e
vetores genéricos do
. Definamos
, com a,b escalares reais fixos e não nulos. Mostre que
define um produto interno sobre o
.
Considere os vetores
e
. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
é uma base ortogonal de
.
Seja à base do
, dada por
,
. Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.
Seja à base do
, dada por
. Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.