Considere os vetores
e
. Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
O vetor
é ld.
O vetor
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem três vetores:
O enunciado quer saber se o vetor
é ld. Aqui, ld provavelmente significa linearmente dependente. Então, vamos precisar entender o que é dependência linear e ver se esse conceito se aplica ao vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa um vetor ser linearmente dependente. Vetores são linearmente dependentes quando pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Mas, tem um detalhe importante: se estamos falando de um único vetor, como é o caso aqui com
, a situação muda um pouco.
Passo 3
No caso de um único vetor, a regra é simples:
- Se o vetor for o vetor zero (isto é, todas as componentes são zero), ele é linearmente dependente.
- Se o vetor não for zero, ele é linearmente independente.
Isso porque um único vetor não tem outros vetores para depender, a menos que ele seja o vetor zero.
Passo 4
Vamos verificar o vetor
:
Claramente,
não é o vetor zero porque suas componentes não são todas zero.
Passo 5
Como
não é o vetor zero, seguindo a regra que vimos, ele é linearmente independente. Ou seja, ele não é linearmente dependente.
Resposta
Falso. O vetor
não é linearmente dependente porque não é o vetor zero.
Exercícios relacionados
Seja à base do
, dada por
. Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.
Dê um exemplo de operador linear diagonalizável
sobre
cujo núcleo é gerado pelo elemento
.
Dê um exemplo de operador linear diagonalizável
sobre
cuja imagem é gerada pelos elementos
e