Dê um exemplo de operador linear diagonalizável sobre cujo núcleo é gerado pelo elemento .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar um operador linear que seja diagonalizável sobre e que o núcleo (ou seja, o conjunto de vetores que manda para o zero) seja gerado pelo vetor .
Conteúdo da matéria: Linear Algebra, especificamente sobre operadores lineares, núcleos de operadores e diagonalização.
O que vamos precisar:
Entender o que significa um operador ser diagonalizável.
Saber como identificar o núcleo de um operador linear.
Construir uma matriz que satisfaça essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que é diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se existe uma base do espaço vetorial composta por autovetores de . Isso facilita bastante a nossa vida porque a matriz de nessas coordenadas será uma matriz diagonal.
Teoria aplicada: A diagonalização simplifica o cálculo de potências de matrizes e a compreensão das transformações lineares, já que cada componente na diagonal representa um autovalor.
Passo 3
Agora, vamos pensar no núcleo de . Queremos que o núcleo seja gerado pelo vetor . Isso significa que todos os vetores no núcleo são múltiplos de .
Teoria aplicada: O núcleo de um operador linear é o conjunto de soluções da equação . Se o núcleo é gerado por , então e qualquer múltiplo de também será levado a zero por .
Passo 4
Vamos construir uma matriz que represente o operador . Queremos que seja diagonalizável e que .
Primeiro, identificamos que será um vetor do núcleo, então uma das colunas de deve ser tal que .
Passo 5
Para simplificar, vamos escolher uma matriz diagonal com um zero na diagonal correspondente ao vetor . Por exemplo, vamos construir a seguinte matriz :
Verificação:
Vamos multiplicar por :
[
A \cdot u =
]
Ops! Parece que não deu certo, pois o último componente não é zero. Precisamos ajustar nossa matriz.
Passo 6
Vamos tentar outra abordagem. Sabemos que está no núcleo, então queremos que . Vamos construir de forma que a terceira coluna seja igual à primeira, garantindo que ao multiplicar por , as componentes se cancelem.
Por exemplo, podemos escolher:
Verificação:
Multiplicando por :
[
A \cdot u =
]
Ainda não estamos conseguindo zero no terceiro componente. Vamos tentar uma outra estratégia.
Passo 7
Vamos considerar que para , precisamos que:
Simplificando:
Podemos escolher os elementos da matriz de acordo com essas equações. Para simplificar, vamos escolher , então . Similarmente, e , então .
Então, nossa matriz fica:
Verificação:
[
A \cdot u =
]
Perfeito! Agora , então está no núcleo de .
Passo 8
Vamos verificar se é diagonalizável. Para isso, precisamos encontrar os autovalores e garantir que existe uma base de autovetores.
A matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), então os autovalores são os elementos da diagonal: , , .
Como todos os autovalores são distintos, isso garante que a matriz é diagonalizável, pois cada autovalor terá um autovetor linearmente independente correspondente.
Resposta
Um exemplo de operador linear diagonalizável sobre com núcleo gerado por é representado pela matriz: