Seja à base do , dada por . Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base composta pelos vetores . O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que queremos que os vetores resultantes sejam todos perpendiculares entre si e cada um tenha comprimento 1. Para isso, vamos precisar calcular produtos internos, projeções e normalizações dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de :
Passo 3
Começamos pelo primeiro vetor . Para iniciar o processo de Gram-Schmidt, simplesmente normalizamos para obter o primeiro vetor ortonormal .
Passo 4
Agora, vamos ortogonalizar em relação a . Primeiro, calculamos a projeção de em :
Subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal :
Passo 5
Agora, normalizamos para obter o segundo vetor ortonormal :
Passo 6
Por último, vamos ortogonalizar em relação a e . Primeiro, calculamos as projeções:
Subtraímos essas projeções de para obter :
Passo 7
Finalmente, normalizamos para obter o terceiro vetor ortonormal :
Resposta
A base ortonormal obtida através do processo de Gram-Schmidt é: