Seja à base do R^3, dada por B=(1,1,1),(2,0,2),(3,2,1). Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base composta pelos vetores . O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que queremos que os vetores resultantes sejam todos perpendiculares entre si e cada um tenha comprimento 1. Para isso, vamos precisar calcular produtos internos, projeções e normalizações dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de v1 = 1 1 1, v2 = 2 0 2, v3 = 3 2 1 :

Passo 3

Começamos pelo primeiro vetor u1 = v1|v1| = 1raiz1^2 + 1^2 + 1^2 1 1 1 = 1raiz3 1 1 1 . Para iniciar o processo de Gram-Schmidt, simplesmente normalizamos para obter o primeiro vetor ortonormal .

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = ( 2 cdot 1raiz3 + 0 cdot 1raiz3 + 2 cdot 1raiz31 ) u1 = ( 4raiz3 ) u1 em relação a w2 = v2 - proju1 v2 = 2 0 2 - 4raiz3 cdot 1raiz3 1 1 1 = 2 0 2 - 43 1 1 1 = 2 - 43 0 - 43 2 - 43 = 23 -43 23 . Primeiro, calculamos a projeção de em :
Subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal :

Passo 5

Agora, normalizamos |w2| = raiz(23)^2 + (-43)^2 + (23)^2 = raiz49 + 169 + 49 = raiz249 = raiz83 = 2raiz63 para obter o segundo vetor ortonormal u2 = w2|w2| = 32raiz6 23 -43 23 = 1raiz6 1 -2 1 :

Passo 6

Por último, vamos ortogonalizar proju1 v3 = ( v3 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 = ( 3 cdot 1raiz3 + 2 cdot 1raiz3 + 1 cdot 1raiz31 ) u1 = 6raiz3 cdot 1raiz3 1 1 1 = 2 1 1 1 em relação a proju2 v3 = ( v3 cdot u2u2 cdot u2 ) u2 = ( 3 cdot 1raiz6 + 2 cdot (-2raiz6) + 1 cdot 1raiz61 ) u2 = 0 cdot u2 = 0 0 0 e w3 = v3 - proju1 v3 - proju2 v3 = 3 2 1 - 2 1 1 1 - 0 0 0 = 1 0 -1 . Primeiro, calculamos as projeções:
Subtraímos essas projeções de para obter :

Passo 7

Finalmente, normalizamos |w3| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2 para obter o terceiro vetor ortonormal u3 = w3|w3| = 1raiz2 1 0 -1 :

Resposta

A base ortonormal obtida através do processo de Gram-Schmidt é:
U = 1raiz3 1 1 1, , 1raiz6 1 -2 1, , 1raiz2 1 0 -1

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