Seja à base do , dada por . Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base composta pelos vetores . O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que queremos que os vetores resultantes sejam todos perpendiculares entre si e cada um tenha comprimento 1. Para isso, vamos precisar calcular produtos internos, projeções e normalizações dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de :

Passo 3

Começamos pelo primeiro vetor . Para iniciar o processo de Gram-Schmidt, simplesmente normalizamos para obter o primeiro vetor ortonormal .

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar em relação a . Primeiro, calculamos a projeção de em :
Subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal :

Passo 5

Agora, normalizamos para obter o segundo vetor ortonormal :

Passo 6

Por último, vamos ortogonalizar em relação a e . Primeiro, calculamos as projeções:
Subtraímos essas projeções de para obter :

Passo 7

Finalmente, normalizamos para obter o terceiro vetor ortonormal :

Resposta

A base ortonormal obtida através do processo de Gram-Schmidt é:

Exercícios relacionados

Seja à base do , dada por , . Ortonormalize B usando o processo de Gram-Schmidt com relação ao produto interno usual.
Determine os autovalores e os autovetores de .
Considere os vetores e . Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
O vetor é ld.