Dê um exemplo de operador linear diagonalizável sobre cuja imagem é gerada pelos elementos e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um exemplo de operador linear diagonalizável em cuja imagem é gerada pelos vetores e .
Vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, imagens de operadores, bases e diagonalização de matrizes. Precisamos encontrar uma matriz que representa de forma que ela seja diagonalizável e que os vetores e estejam na imagem de .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Isso é importante porque vetores linearmente independentes são mais fáceis de trabalhar ao formar bases.
Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Substituindo os vetores:
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução é e , o que significa que e são linearmente independentes.
Passo 3
Como temos dois vetores linearmente independentes em , eles geram um subespaço de dimensão 2. Para formar uma base completa de , precisamos de um terceiro vetor que não esteja no subespaço gerado por e .
Vamos escolher . Agora, vamos verificar se são linearmente independentes.
Montando a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .
Passo 4
Agora, queremos que o operador seja diagonalizável. Para isso, deve ter uma base de vetores próprios que correspondam a uma matriz diagonal.
Vamos definir de forma que:
- seja um vetor próprio com valor próprio
- seja um vetor próprio com valor próprio
- seja um vetor próprio com valor próprio
Assim, na base , a matriz de será diagonal com os valores próprios na diagonal.
Passo 5
Montando a matriz de na base escolhida:
Essa matriz é diagonal, o que significa que é diagonalizável. Além disso, os vetores e estão na imagem de , conforme solicitado.
Resposta
Um exemplo de operador linear diagonalizável em cuja imagem é gerada pelos vetores e é representado pela matriz diagonal: