Dê um exemplo de operador linear diagonalizável T sobre R^3 cuja imagem é gerada pelos elementos v1=(1,1,0) e v2=(1,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um exemplo de operador linear diagonalizável em cuja imagem é gerada pelos vetores e .
Vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, imagens de operadores, bases e diagonalização de matrizes. Precisamos encontrar uma matriz que representa de forma que ela seja diagonalizável e que os vetores e estejam na imagem de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores a cdot v1 + b cdot v2 = (0,0,0) e a(1,1,0) + b(1,0,1) = (a + b, a, b) = (0,0,0) são linearmente independentes. Isso é importante porque vetores linearmente independentes são mais fáceis de trabalhar ao formar bases.
Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
a + b = 0 a = 0 b = 0
Substituindo os vetores:
Isso resulta no sistema de equações:
A única solução é e , o que significa que e são linearmente independentes.

Passo 3

Como temos dois vetores linearmente independentes em 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 , eles geram um subespaço de dimensão 2. Para formar uma base completa de det = 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = -1 -1 + 0 = -2 neq 0 , precisamos de um terceiro vetor que não esteja no subespaço gerado por e .
Vamos escolher . Agora, vamos verificar se são linearmente independentes.
Montando a matriz com esses vetores como colunas:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .

Passo 4

Agora, queremos que o operador seja diagonalizável. Para isso, deve ter uma base de vetores próprios que correspondam a uma matriz diagonal.
Vamos definir de forma que:
  • seja um vetor próprio com valor próprio
  • seja um vetor próprio com valor próprio
  • seja um vetor próprio com valor próprio
Assim, na base , a matriz de será diagonal com os valores próprios na diagonal.

Passo 5

Montando a matriz de T = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 1 na base escolhida:
Essa matriz é diagonal, o que significa que é diagonalizável. Além disso, os vetores e estão na imagem de , conforme solicitado.

Resposta

Um exemplo de operador linear diagonalizável T = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 1 em cuja imagem é gerada pelos vetores e é representado pela matriz diagonal:

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