Dê um exemplo de operador linear diagonalizável sobre cuja imagem é gerada pelos elementos e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um exemplo de operador linear diagonalizável em cuja imagem é gerada pelos vetores e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como operadores lineares, imagens de operadores, bases e diagonalização de matrizes. Precisamos encontrar uma matriz que representa de forma que ela seja diagonalizável e que os vetores e estejam na imagem de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Isso é importante porque vetores linearmente independentes são mais fáceis de trabalhar ao formar bases. Vamos montar uma combinação linear igual a zero: Substituindo os vetores: Isso resulta no sistema de equações: A única solução é e , o que significa que e são linearmente independentes.

Passo 3

Como temos dois vetores linearmente independentes em , eles geram um subespaço de dimensão 2. Para formar uma base completa de , precisamos de um terceiro vetor que não esteja no subespaço gerado por e . Vamos escolher . Agora, vamos verificar se são linearmente independentes. Montando a matriz com esses vetores como colunas: Calculando o determinante: Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base de .

Passo 4

Agora, queremos que o operador seja diagonalizável. Para isso, deve ter uma base de vetores próprios que correspondam a uma matriz diagonal. Vamos definir de forma que: - seja um vetor próprio com valor próprio - seja um vetor próprio com valor próprio - seja um vetor próprio com valor próprio Assim, na base , a matriz de será diagonal com os valores próprios na diagonal.

Passo 5

Montando a matriz de na base escolhida: Essa matriz é diagonal, o que significa que é diagonalizável. Além disso, os vetores e estão na imagem de , conforme solicitado.

Resposta

Um exemplo de operador linear diagonalizável em cuja imagem é gerada pelos vetores e é representado pela matriz diagonal:

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