Verifique se a base
(raiz33, raiz33, raiz33),(raiz66,-raiz63, raiz66),(-raiz22, 0, raiz22)
é ortonormal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se um conjunto de vetores forma uma base ortonormal. Ortonormal significa que os vetores são ortogonais entre si (ou seja, têm um ângulo de 90 graus entre eles) e cada vetor tem norma 1 (ou seja, é um vetor unitário). Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto interno entre os vetores e as normas de cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno de dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e é calculado da seguinte forma:
Se o produto interno for zero, os vetores são ortogonais.

Passo 3

Vamos verificar a ortogonalidade entre cada par de vetores.
Entre v1 cdot v2 = (raiz33) (raiz66) + (raiz33) (-raiz63) + (raiz33) (raiz66) e raiz26 - raiz23 + raiz26 = (16 - 26 + 16) raiz2 = 0 :
Vamos calcular cada termo:
Somando os termos:
Então, e são ortogonais.

Passo 4

Entre v1 cdot v3 = (raiz33) (-raiz22) + (raiz33) (0) + (raiz33) (raiz22) e -raiz66 + 0 + raiz66 = 0 :
Calculando cada termo:
Somando os termos:
Então, e são ortogonais.

Passo 5

Entre v2 cdot v3 = (raiz66) (-raiz22) + (-raiz63) (0) + (raiz66) (raiz22) e -raiz36 + 0 + raiz36 = 0 :
Calculando cada termo:
Somando os termos:
Então, e também são ortogonais.

Passo 6

Agora que verificamos que todos os pares de vetores são ortogonais entre si, vamos verificar se cada vetor tem norma igual a 1.
A norma de um vetor |v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 é dada por:
|v1| = raiz(raiz33)^2 + (raiz33)^2 + (raiz33)^2 = raiz39 + 39 + 39 = raiz99 = 1
Calculando a norma de |v2| = raiz(raiz66)^2 + (-raiz63)^2 + (raiz66)^2 = raiz636 + 69 + 636 = raiz636 + 2436 + 636 = raiz3636 = 1 :
|v3| = raiz(-raiz22)^2 + 0^2 + (raiz22)^2 = raiz24 + 0 + 24 = raiz44 = 1
Calculando a norma de :
Calculando a norma de :

Resposta

Sim, a base fornecida é ortonormal porque todos os vetores são mutuamente ortogonais e cada vetor tem norma igual a 1.

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