Considere os vetores
(i) Calcule
;
(ii) Calcule
;
(iii) Determine
tal que
seja ortogonal a
;
(iv) Calcule o ângulo de
e
.
(ii) Calcule
(iii) Determine
(iv) Calcule o ângulo de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos três vetores:
E precisamos:
- Calcular as magnitudes de
e . - Fazer o produto escalar entre
e . - Encontrar o valor de
para que seja ortogonal a . - Determinar o ângulo entre
e .
Para isso, vamos usar fórmulas de magnitude de vetor, produto escalar e a relação entre o produto escalar e o ângulo entre dois vetores. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
- Para
:
- Para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre
e
. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso:
Passo 4
Vamos determinar o valor de
para que
seja ortogonal a
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero.
Portanto, precisamos que:
Calculando o produto escalar:
Igualando a zero:
Passo 5
Por último, vamos calcular o ângulo entre
e
. A fórmula para o ângulo
entre dois vetores é:
Já sabemos que
,
e
. Substituindo:
Simplificando:
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar o ângulo:
Resposta
(i) As magnitudes são
e
;
(ii) O produto escalar
;
(iii) O valor de
que torna
ortogonal a
é
;
(iv) O ângulo entre
e
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine
de modo que os vetores abaixo sejam LD.
(i) e
.
(ii) e
.
(iii) e
.
(iv) e
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Encontre a projeção do vetor
na direção do vetor
nos seguintes casos:
(i) e
;
(ii) e
;
(iii) e
.
(i)
(ii)
(iii)
Considere os vetores
e
.
(i) Calcule .
(ii) Calcule o seno do ângulo entre .
(i) Calcule
(ii) Calcule o seno do ângulo entre
Encontre a medida em radianos do ângulo entre os vetores
e
nos seguintes casos:
(i) e
;
(ii) e
;
(iii) e
;
(iv) e
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)