Considere os vetores
u=2 i-j+3 k, v=4 i+5 j+1 k, w=3 i-j+m k
(i) Calcule |u| e|v|;
(ii) Calcule u cdot v;
(iii) Determine m tal que u seja ortogonal a w;
(iv) Calcule o ângulo de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos três vetores:
u=2 i-j+3 k, v=4 i+5 j+1 k, w=3 i-j+m k
E precisamos:
  1. Calcular as magnitudes de u e v.
  2. Fazer o produto escalar entre u e v.
  3. Encontrar o valor de m para que u seja ortogonal a w.
  4. Determinar o ângulo entre u e v.
Para isso, vamos usar fórmulas de magnitude de vetor, produto escalar e a relação entre o produto escalar e o ângulo entre dois vetores. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as magnitudes dos vetores u e v. A magnitude de um vetor a = ai i + aj j + ak k é dada por:
|a| = raizai^2 + aj^2 + ak^2
Aplicando isso aos nossos vetores:
  • Para u:
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14
  • Para v:
|v| = raiz4^2 + 5^2 + 1^2 = raiz16 + 25 + 1 = raiz42

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar de dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = ai bi + aj bj + ak bk
Aplicando isso:
u cdot v = (2)(4) + (-1)(5) + (3)(1) = 8 - 5 + 3 = 6

Passo 4

Vamos determinar o valor de m para que u seja ortogonal a w. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero.
Portanto, precisamos que:
u cdot w = 0
Calculando o produto escalar:
u cdot w = (2)(3) + (-1)(-1) + (3)(m) = 6 + 1 + 3m = 7 + 3m
Igualando a zero:
7 + 3m = 0 3m = -7 m = -73

Passo 5

Por último, vamos calcular o ângulo entre u e v. A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores é:
cos theta = u cdot v|u| |v|
Já sabemos que u cdot v = 6, |u| = raiz14 e |v| = raiz42. Substituindo:
cos theta = 6raiz14 cdot raiz42 = 6raiz588 = 6raiz196 cdot 3 = 614raiz3 = 37raiz3
Simplificando:
cos theta = 37raiz3 approx 0,247
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar o ângulo:
theta = arccos(0,247) approx 75,3^circ

Resposta

(i) As magnitudes são |u| = raiz14 e |v| = raiz42;
(ii) O produto escalar u cdot v = 6;
(iii) O valor de m que torna u ortogonal a w é m = -73;
(iv) O ângulo entre u e v é aproximadamente 75,3^circ.

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