Determine de modo que os vetores abaixo sejam LD.
(i) e .
(ii) e .
(iii) e .
(iv) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de que fazem com que os vetores dados sejam linearmente dependentes (LD). Isso significa que um dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro. Para resolver, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear entre vetores.
(i) e
Passo 2
Para vetores de duas componentes serem LD, existe um escalar tal que . Vamos igualar as componentes:
Passo 3
Da primeira e terceira equações, vemos que 1 = m cdot m Rightarrow m^2 = 1 . Substituindo na segunda equação:
Passo 4
Resolvendo , temos .
Passo 5
Vamos encontrar valores de que fazem com que os vetores e sejam LD. Isso significa que existe um escalar tal que .
Passo 6
Igualando as componentes:
1 - m^2 = k cdot m 1 - m = k cdot m 0 = k cdot m
Passo 7
Da terceira equação, . Isso implica que ou ou .
Se , então das primeiras equações temos . Mas substituindo na segunda equação, .
Se , então das primeiras equações: , o que é impossível.
Passo 8
Então, a única solução válida é .
Passo 9
Vamos determinar os valores de que fazem com que os vetores e sejam LD. Isso significa que existe um escalar tal que .
Passo 10
Igualando as componentes:
1 = k cdot 2 3 = k cdot (1 + m) 5 = k cdot 10
Passo 11
Da primeira equação, 3 = 12 cdot (1 + m) Rightarrow 1 + m = 6 Rightarrow m =5 .
Da terceira equação, , que é verdadeira.
Agora, da segunda equação:
Passo 12
Verificamos que satisfaz todas as equações.
Passo 13
Queremos encontrar valores de que façam com que os três vetores , e sejam LD. Três vetores são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial entre eles que resulta no vetor nulo. Para três vetores no espaço tridimensional, uma maneira prática de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores e exigir que seja zero.
Passo 14
Formamos a matriz com os vetores como colunas:
A = m & 0 & 0 1 & 1 & m m+1 & m & 2m
Vamos calcular o determinante de det(A) = m cdot 1 & m m & 2m - 0 + 0 = m cdot (1 cdot 2m - m cdot m) = m cdot (2m - m^2) = m(2m - m^2) :
Passo 15
Para os vetores serem LD, o determinante deve ser zero:
m(2m - m^2) =0
Resolvendo:
m =0 ou 2m - m^2 =0 Rightarrow m(m -2)=0 Rightarrow m=0 ou m=2
Passo 16
Então, os valores de são e .
Resposta
As soluções para os valores de que tornam os vetores linearmente dependentes são: