Encontre a projeção do vetor
na direção do vetor
nos seguintes casos:
(i)
e
;
(ii)
e
;
(iii)
e
.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a projeção do vetor
na direção do vetor
em três casos diferentes. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente ao conceito de projeção de vetores. Para resolver, vamos precisar utilizar o produto escalar e entender como calcular a projeção de um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor
na direção de um vetor
. A fórmula da projeção é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo, que na verdade é o quadrado da norma de
.
Vamos calcular isso para cada caso.
Passo 3
Caso (i):
e
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Em seguida, calculamos
:
Agora, substituímos na fórmula da projeção:
Passo 4
Caso (ii):
e
Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicamos a fórmula da projeção:
Passo 5
Caso (iii):
e
Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicamos a fórmula da projeção:
Resposta
As projeções do vetor
na direção do vetor
são:
(i)
;
(ii)
;
(iii)
.
Exercícios relacionados
Encontre equações paramétricas da reta que passa por
e é paralela à reta
.
Determine as equações paramétricas e represente graficamente a reta que passa pelos pontos:
(b) e
.
(b)
Determine
de modo que os vetores abaixo sejam LD.
(i) e
.
(ii) e
.
(iii) e
.
(iv) e
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Considere os vetores
(i) Calcule
;
(ii) Calcule ;
(iii) Determine tal que
seja ortogonal a
;
(iv) Calcule o ângulo de e
.
(ii) Calcule
(iii) Determine
(iv) Calcule o ângulo de