Encontre a projeção do vetor w na direção do vetor v nos seguintes casos:
(i) w=(1,-1,2) e v=(3,-1,1);
(ii) w=(-1,1,1) e v=(-2,1,2);
(iii) w=(1,3,5) e v=(-3,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a projeção do vetor w na direção do vetor v em três casos diferentes. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente ao conceito de projeção de vetores. Para resolver, vamos precisar utilizar o produto escalar e entender como calcular a projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor w na direção de um vetor v. A fórmula da projeção é:
projv,w = ( w cdot vv cdot v ) v
Aqui, w cdot v é o produto escalar dos vetores w e v, e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo, que na verdade é o quadrado da norma de v.
Vamos calcular isso para cada caso.

Passo 3

Caso (i): w=(1,-1,2) e v=(3,-1,1)

Primeiro, calculamos o produto escalar w cdot v:
w cdot v = (1)(3) + (-1)(-1) + (2)(1) = 3 + 1 + 2 = 6
Em seguida, calculamos v cdot v:
v cdot v = (3)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 9 + 1 + 1 = 11
Agora, substituímos na fórmula da projeção:
projv,w = ( 611 ) v = ( 611 ) (3,-1,1) = ( 1811, -611, 611 )

Passo 4

Caso (ii): w=(-1,1,1) e v=(-2,1,2)

Calculamos w cdot v:
w cdot v = (-1)(-2) + (1)(1) + (1)(2) = 2 + 1 + 2 = 5
Calculamos v cdot v:
v cdot v = (-2)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9
Aplicamos a fórmula da projeção:
projv,w = ( 59 ) v = ( 59 ) (-2,1,2) = ( -109, 59, 109 )

Passo 5

Caso (iii): w=(1,3,5) e v=(-3,1,0)

Calculamos w cdot v:
w cdot v = (1)(-3) + (3)(1) + (5)(0) = -3 + 3 + 0 = 0
Calculamos v cdot v:
v cdot v = (-3)^2 + (1)^2 + (0)^2 = 9 + 1 + 0 = 10
Aplicamos a fórmula da projeção:
projv,w = ( 010 ) v = 0

Resposta

As projeções do vetor w na direção do vetor v são:
(i) ( dfrac1811, -dfrac611, dfrac611 );
(ii) ( -dfrac109, dfrac59, dfrac109 );
(iii) 0.

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