Seja
uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor
e triplica o comprimento do vetor
, sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores
formam uma base do
. Qual a matriz do operador
na base
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear
que altera os vetores de uma base específica. O objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação na base
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como representar essa transformação usando matrizes e como aplicar isso na base dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, preservando as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação
está agindo em
.
Passo 3
Agora, como representamos uma transformação linear usando matrizes? A ideia é que cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor da base. Ou seja, se temos uma base
, a matriz de
nessa base será formada pelas coordenadas de
e
na mesma base.
Passo 4
No exercício, nossa base é
. A transformação
dobra o comprimento de
e triplica o comprimento de
, sem mudar suas direções. Isso significa que:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
e
na base
. Isso significa encontrar os coeficientes
e
tais que:
Vamos montar essas equações para encontrar
.
Passo 6
Começando com
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
.
Passo 7
Resolvendo:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 8
Agora, fazemos o mesmo para
:
Isso nos dá:
Resolvendo esse sistema para
e
.
Passo 9
Resolvendo:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 10
Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a matriz de
na base
:
[
]
Resposta
A matriz do operador
na base
é: