Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u=(3,1) e triplica o comprimento do vetor v=(1,3), sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores (3,1),(1,3) formam uma base do R^2. Qual a matriz do operador T na base (3,1),(1,3) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que altera os vetores de uma base específica. O objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação na base . Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como representar essa transformação usando matrizes e como aplicar isso na base dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, preservando as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação está agindo em .

Passo 3

Agora, como representamos uma transformação linear usando matrizes? A ideia é que cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor da base. Ou seja, se temos uma base , a matriz de nessa base será formada pelas coordenadas de e na mesma base.

Passo 4

No exercício, nossa base é . A transformação dobra o comprimento de e triplica o comprimento de , sem mudar suas direções. Isso significa que:

Passo 5

Agora, precisamos expressar e na base . Isso significa encontrar os coeficientes e tais que:
Vamos montar essas equações para encontrar .

Passo 6

Começando com (6,2) = a(3,1) + b(1,3) :
3a + b = 6 a + 3b = 2
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .

Passo 7

Resolvendo:
Da primeira equação: a + 3(6 - 3a) = 2 a + 18 - 9a = 2 -8a = -16 a = 2
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 8

Agora, fazemos o mesmo para (3,9) = c(3,1) + d(1,3) :
3c + d = 3 c + 3d = 9
Isso nos dá:
Resolvendo esse sistema para e .

Passo 9

Resolvendo:
Da primeira equação: c + 3(3 - 3c) = 9 c + 9 - 9c = 9 -8c = 0 c = 0
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 10

Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a matriz de a & c b & d = 2 & 0 0 & 3 na base :
[


]

Resposta

A matriz do operador 2 & 0 0 & 3 na base é:

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