Seja uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores formam uma base do . Qual a matriz do operador na base ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que altera os vetores de uma base específica. O objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação na base . Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como representar essa transformação usando matrizes e como aplicar isso na base dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, preservando as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação está agindo em .
Passo 3
Agora, como representamos uma transformação linear usando matrizes? A ideia é que cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor da base. Ou seja, se temos uma base , a matriz de nessa base será formada pelas coordenadas de e na mesma base.
Passo 4
No exercício, nossa base é . A transformação dobra o comprimento de e triplica o comprimento de , sem mudar suas direções. Isso significa que:
Passo 5
Agora, precisamos expressar e na base . Isso significa encontrar os coeficientes e tais que:
Vamos montar essas equações para encontrar .
Passo 6
Começando com :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
Passo 7
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 8
Agora, fazemos o mesmo para :
Isso nos dá:
Resolvendo esse sistema para e .
Passo 9
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 10
Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a matriz de na base :
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