Seja uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor e triplica o comprimento do vetor , sem alterar as direções nem inverter os sentidos. Admita que os vetores formam uma base do . Qual a matriz do operador na base ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que altera os vetores de uma base específica. O objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação na base . Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como representar essa transformação usando matrizes e como aplicar isso na base dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro, preservando as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação está agindo em .

Passo 3

Agora, como representamos uma transformação linear usando matrizes? A ideia é que cada coluna da matriz representa a imagem de um vetor da base. Ou seja, se temos uma base , a matriz de nessa base será formada pelas coordenadas de e na mesma base.

Passo 4

No exercício, nossa base é . A transformação dobra o comprimento de e triplica o comprimento de , sem mudar suas direções. Isso significa que:

Passo 5

Agora, precisamos expressar e na base . Isso significa encontrar os coeficientes e tais que:
Vamos montar essas equações para encontrar .

Passo 6

Começando com :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .

Passo 7

Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 8

Agora, fazemos o mesmo para :
Isso nos dá:
Resolvendo esse sistema para e .

Passo 9

Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 10

Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a matriz de na base :
[


]

Resposta

A matriz do operador na base é:

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas abaixo e verifique se eles são possíveis (determinado ou indeterminado) ou impossíveis:
Sejam e . Calcule o módulo das seguintes expressões dadas,
b)
Verifique se o conjunto em R2 é Linearmente dependente ou independente.