A medida algébrica da projeção de um vetor v sobre o eixo f é igual a 133. Sabendose que (i) o eixo f tem o mesmo sentido de A B, onde A(6,2,2) e B(8,3,0); (ii) cos (v, imath)= 67 e|v|=7. Quais as coordenadas de v ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Queremos encontrar as coordenadas do vetor v. Para isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e produto escalar. Precisamos saber como calcular a projeção de um vetor sobre outro e utilizar as informações sobre ângulos e normas fornecidas no problema.

Passo 2

Vamos começar determinando o vetor que representa o eixo f. Sabemos que f tem a mesma direção do vetor AB, onde A(6,2,2) e B(8,3,0). Então, calculamos AB subtraindo as coordenadas de A das de B:
AB = (8-6, 3-2, 0-2) = (2, 1, -2)

Passo 3

Agora, encontramos o vetor unitário na direção de f. Para isso, calculamos a norma de AB:
|AB| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Então, o vetor unitário f é:
f = AB|AB| = (23, 13, -23)

Passo 4

A projeção escalar de v sobre f é dada por:
projf v = v cdot f = 133
Sabemos também que |v| = 7 e cos(v, imath) = 67. Vamos usar essas informações para encontrar as componentes de v.

Passo 5

Sabendo que cos(v, imath) = 67, podemos encontrar a componente na direção de imath. Se v = (vx, vy, vz), então:
vx|v| = 67 implies vx = 6

Passo 6

Agora, sabendo que |v| = 7, temos:
raizvx^2 + vy^2 + vz^2 = 7 implies raiz6^2 + vy^2 + vz^2 = 7
36 + vy^2 + vz^2 = 49 implies vy^2 + vz^2 = 13

Passo 7

Voltando à projeção escalar:
v cdot f = 133
Substituindo v = (6, vy, vz) e f = (23, 13, -23):
6 cdot 23 + vy cdot 13 + vz cdot -23 = 133
4 + vy3 - 2vz3 = 133
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:
12 + vy - 2vz = 13 implies vy - 2vz = 1

Passo 8

Agora temos um sistema de duas equações:
vy^2 + vz^2 = 13 vy - 2vz = 1
Vamos resolver este sistema. Da segunda equação, isolamos vy:
vy = 1 + 2vz
Substituímos na primeira equação:
(1 + 2vz)^2 + vz^2 = 13
1 + 4vz + 4vz^2 + vz^2 = 13
5vz^2 + 4vz - 12 = 0

Passo 9

Resolvemos a equação quadrática:
5vz^2 + 4vz - 12 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
vz = -4 pm raiz16 + 24010 = -4 pm raiz25610 = -4 pm 1610
Então, temos duas soluções:
vz = 1210 = 65 ou vz = -2010 = -2

Passo 10

Encontramos vz, agora calculamos vy para cada caso:
  1. Se vz = 65:
vy = 1 + 2 cdot 65 = 1 + 125 = 175
  1. Se vz = -2:
vy = 1 + 2 cdot (-2) = 1 - 4 = -3

Passo 11

Então, temos duas possíveis soluções para v:
  1. v = (6, 175, 65)
  2. v = (6, -3, -2)

Resposta

As coordenadas de v são (6, 175, 65) ou (6, -3, -2).

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