A medida algébrica da projeção de um vetor sobre o eixo é igual a . Sabendose que (i) o eixo tem o mesmo sentido de , onde ; (ii) . Quais as coordenadas de ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Queremos encontrar as coordenadas do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e produto escalar. Precisamos saber como calcular a projeção de um vetor sobre outro e utilizar as informações sobre ângulos e normas fornecidas no problema.

Passo 2

Vamos começar determinando o vetor que representa o eixo . Sabemos que tem a mesma direção do vetor , onde e . Então, calculamos subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 3

Agora, encontramos o vetor unitário na direção de . Para isso, calculamos a norma de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

A projeção escalar de sobre é dada por:
Sabemos também que e . Vamos usar essas informações para encontrar as componentes de .

Passo 5

Sabendo que , podemos encontrar a componente na direção de . Se , então:

Passo 6

Agora, sabendo que , temos:

Passo 7

Voltando à projeção escalar:
Substituindo e :
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:

Passo 8

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver este sistema. Da segunda equação, isolamos :
Substituímos na primeira equação:

Passo 9

Resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 10

Encontramos , agora calculamos para cada caso:
  1. Se :
  1. Se :

Passo 11

Então, temos duas possíveis soluções para :

Resposta

As coordenadas de são ou .

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b)
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