A medida algébrica da projeção de um vetor sobre o eixo é igual a . Sabendose que (i) o eixo tem o mesmo sentido de , onde ; (ii) . Quais as coordenadas de ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Queremos encontrar as coordenadas do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e produto escalar. Precisamos saber como calcular a projeção de um vetor sobre outro e utilizar as informações sobre ângulos e normas fornecidas no problema.
Passo 2
Vamos começar determinando o vetor que representa o eixo . Sabemos que tem a mesma direção do vetor , onde e . Então, calculamos subtraindo as coordenadas de das de :
Passo 3
Agora, encontramos o vetor unitário na direção de . Para isso, calculamos a norma de :
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
A projeção escalar de sobre é dada por:
Sabemos também que e . Vamos usar essas informações para encontrar as componentes de .
Passo 5
Sabendo que , podemos encontrar a componente na direção de . Se , então:
Passo 6
Agora, sabendo que , temos:
Passo 7
Voltando à projeção escalar:
Substituindo e :
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:
Passo 8
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver este sistema. Da segunda equação, isolamos :