Os vetores x e y formam ângulo de pi3 radianos. Se |x|=1,|y|=2, u=x+2 y e v=2 x-y determine o ângulo entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores e o ângulo entre eles. A gente tem dois vetores, x e y, que formam um ângulo de pi3 radianos. Além disso, sabemos que o tamanho de x é 1 e o de y é 2. A gente precisa criar dois novos vetores, u e v, a partir desses, e descobrir qual é o ângulo entre u e v. Para isso, vamos usar noções de álgebra vetorial como soma de vetores, produto escalar e cálculo de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como são definidos os vetores u e v:
u = x + 2y
v = 2x - y
Isso significa que u é a soma de x com o dobro de y, e v é o dobro de x menos y.

Passo 3

Para encontrar o ângulo entre u e v, vamos usar a fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores. Reorganizando a fórmula, temos:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Então, precisamos calcular o produto escalar u cdot v e os comprimentos (normas) de u e v.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (x + 2y) cdot (2x - y)
Aplicando a distributiva do produto escalar:
= x cdot 2x + x cdot (-y) + 2y cdot 2x + 2y cdot (-y)
= 2(x cdot x) - x cdot y + 4(y cdot x) - 2(y cdot y)
Sabemos que x cdot x = |x|^2 = 1^2 = 1 e y cdot y = |y|^2 = 2^2 = 4.
E também, o produto escalar x cdot y pode ser calculado usando a fórmula:
x cdot y = |x| cdot |y| cdot cos(pi3) = 1 cdot 2 cdot 12 = 1
Então, substituindo:
u cdot v = 2(1) - 1 + 4(1) - 2(4) = 2 - 1 + 4 - 8 = -3

Passo 5

Agora, vamos calcular as normas de u e v.
Primeiro, para u:
|u| = |x + 2y|
Usamos a fórmula da norma de uma soma de vetores:
|u|^2 = u cdot u = (x + 2y) cdot (x + 2y) = x cdot x + 4x cdot y + 4y cdot y
= 1 + 4(1) + 4(4) = 1 + 4 + 16 = 21
Então,
|u| = raiz21
Agora, para v:
|v| = |2x - y|
Usando a fórmula da norma:
|v|^2 = (2x - y) cdot (2x - y) = 4x cdot x - 4x cdot y + y cdot y
= 4(1) - 4(1) + 4 = 4 - 4 + 4 = 4
Então,
|v| = raiz4 = 2

Passo 6

Agora que temos u cdot v = -3, |u| = raiz21 e |v| = 2, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo theta entre u e v:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| = -3raiz21 cdot 2 = -32raiz21 = -3raiz2142 = -raiz2114

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, vamos tirar o arco cosseno:
theta = arccos(-raiz2114)
Esse é o ângulo entre os vetores u e v.

Resposta

O ângulo entre u e v é arccos(-raiz2114) radianos.

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