Os vetores
e
formam ângulo de
radianos. Se
determine o ângulo entre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre vetores e o ângulo entre eles. A gente tem dois vetores,
e
, que formam um ângulo de
radianos. Além disso, sabemos que o tamanho de
é 1 e o de
é 2. A gente precisa criar dois novos vetores,
e
, a partir desses, e descobrir qual é o ângulo entre
e
. Para isso, vamos usar noções de álgebra vetorial como soma de vetores, produto escalar e cálculo de ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como são definidos os vetores
e
:
Isso significa que
é a soma de
com o dobro de
, e
é o dobro de
menos
.
Passo 3
Para encontrar o ângulo entre
e
, vamos usar a fórmula do produto escalar:
Onde
é o ângulo entre os vetores. Reorganizando a fórmula, temos:
Então, precisamos calcular o produto escalar
e os comprimentos (normas) de
e
.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Aplicando a distributiva do produto escalar:
Sabemos que
e
.
E também, o produto escalar
pode ser calculado usando a fórmula:
Então, substituindo:
Passo 5
Agora, vamos calcular as normas de
e
.
Primeiro, para
:
Usamos a fórmula da norma de uma soma de vetores:
Então,
Agora, para
:
Usando a fórmula da norma:
Então,
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo
entre
e
:
Passo 7
Para encontrar o ângulo
, vamos tirar o arco cosseno:
Esse é o ângulo entre os vetores
e
.
Resposta
O ângulo entre
e
é
radianos.
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e
.
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Sejam os vetores
e
. Determine
de modo que
.
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e
.
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.
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