Considere os vetores u=(1,0,-1) e v=(0,3,3).
Determine o cosseno do ângulo entre os vetores u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u = (1, 0, -1) e v = (0, 3, 3). O objetivo é encontrar o cosseno do ângulo entre eles. Isso entra no conteúdo de Álgebra Vetorial, especificamente no cálculo do ângulo entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar e a norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores e |u|, |v| são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. A fórmula do produto escalar é:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Substituindo os valores:
u cdot v = (1)(0) + (0)(3) + (-1)(3) = 0 + 0 - 3 = -3

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de cada vetor. A fórmula da norma de um vetor w = (w1, w2, w3) é:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Para u:
|u| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
Para v:
|v| = raiz0^2 + 3^2 + 3^2 = raiz0 + 9 + 9 = raiz18 = 3raiz2

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as normas, vamos substituir na fórmula do cosseno:
cos(theta) = -3raiz2 cdot 3raiz2 = -33 cdot 2 = -36 = -12

Resposta

O cosseno do ângulo entre os vetores u e v é cos(theta) = -12.

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