Determine a equaçāo reduzida, o centro, os vértices, os focos das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse! O enunciado pede para encontrar a equação reduzida, o centro, os vértices e os focos da elipse dada por
. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e usar as propriedades das elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
.
Para
:
Factorizamos o coeficiente de :
Factorizamos o coeficiente de
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Para
:
Factorizamos o coeficiente de :
Factorizamos o coeficiente de
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Adicionando 36 em ambos os lados:
Passo 5
Dividindo todos os termos por 36 para obter a forma reduzida da elipse:
Essa é a equação reduzida da elipse.
Passo 6
Identificando os parâmetros da elipse:
A equação reduzida está na forma:
Comparando com:
Temos:
- Centro
= -
-
Passo 7
Como
, a elipse está verticalmente alongada.
Os vértices estão a uma distância
do centro na direção do eixo maior (vertical):
- Vértice superior:
- Vértice inferior:
Passo 8
Para encontrar os focos, usamos a relação
:
Os focos estão a uma distância
do centro na direção do eixo maior:
- Foco superior:
- Foco inferior:
Resposta
A equação reduzida da elipse é:
O centro da elipse é
. Os vértices estão em
e
. Os focos estão em
e
. O gráfico da elipse é uma curva verticalmente alongada com esses pontos destacados.