Determine a equaçāo reduzida, o centro, os vértices, os focos das elipses dadas. Esboçar o gráfico. 9 x^2+4 y^2+18 x-24 y+9=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse! O enunciado pede para encontrar a equação reduzida, o centro, os vértices e os focos da elipse dada por 9 x^2+4 y^2+18 x-24 y+9=0. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e usar as propriedades das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de 9x^2 + 18x + 4y^2 - 24y + 9 = 0 e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 9(x^2 + 2x) e de x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 .
Para 9[(x + 1)^2 - 1] = 9(x + 1)^2 - 9 :
Factorizamos o coeficiente de 4(y^2 - 6y) :
y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9
Completando o quadrado dentro do parêntese:
4[(y - 3)^2 - 9] = 4(y - 3)^2 - 36
Então:
Para :
Factorizamos o coeficiente de :
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Então:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
9(x + 1)^2 - 9 + 4(y - 3)^2 - 36 + 9 = 0
Simplificando:
9(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 - 36 = 0
Adicionando 36 em ambos os lados:
9(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 = 36

Passo 5

Dividindo todos os termos por 36 para obter a forma reduzida da elipse:
(x + 1)^24 + (y - 3)^29 = 1
Essa é a equação reduzida da elipse.

Passo 6

Identificando os parâmetros da elipse:
A equação reduzida está na forma:
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
Comparando com:
(x + 1)^24 + (y - 3)^29 = 1
Temos:
  • Centro =

Passo 7

Como , a elipse está verticalmente alongada.
Os vértices estão a uma distância do centro na direção do eixo maior (vertical):
  • Vértice superior:
  • Vértice inferior:

Passo 8

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = 9 - 4 = 5 Rightarrow c = raiz5 :
Os focos estão a uma distância do centro na direção do eixo maior:
  • Foco superior:
  • Foco inferior:

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
(x + 1)^24 + (y - 3)^29 = 1
O centro da elipse é . Os vértices estão em e . Os focos estão em e . O gráfico da elipse é uma curva verticalmente alongada com esses pontos destacados.

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