Determine a equaçāo reduzida, o centro, os vértices, os focos das elipses dadas. Esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de uma elipse! O enunciado pede para encontrar a equação reduzida, o centro, os vértices e os focos da elipse dada por . Para isso, vamos precisar completar o quadrado e usar as propriedades das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de . Para : Factorizamos o coeficiente de : Completando o quadrado dentro do parêntese: Então: Para : Factorizamos o coeficiente de : Completando o quadrado dentro do parêntese: Então:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original: Simplificando: Adicionando 36 em ambos os lados:

Passo 5

Dividindo todos os termos por 36 para obter a forma reduzida da elipse: Essa é a equação reduzida da elipse.

Passo 6

Identificando os parâmetros da elipse: A equação reduzida está na forma: Comparando com: Temos: - Centro = - -

Passo 7

Como , a elipse está verticalmente alongada. Os vértices estão a uma distância do centro na direção do eixo maior (vertical): - Vértice superior: - Vértice inferior:

Passo 8

Para encontrar os focos, usamos a relação : Os focos estão a uma distância do centro na direção do eixo maior: - Foco superior: - Foco inferior:

Resposta

A equação reduzida da elipse é: O centro da elipse é . Os vértices estão em e . Os focos estão em e . O gráfico da elipse é uma curva verticalmente alongada com esses pontos destacados.

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