Sejam A=(1,5,-4), B=(0,1,-1), C=(2,0,-1) e D=(0,2,3).
Os pontos A, B e C e D são coplanares?

Passo 1

Vamos verificar se os pontos , , e estão todos no mesmo plano. Isso faz parte da Geometria Analítica, onde estudamos planos no espaço 3D. Para resolver, vamos descobrir se o ponto está no plano formado pelos pontos , e .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que ficam no plano formado por AB = B - A = (0-1, 1-5, -1 -(-4)) = (-1, -4, 3) , AC = C - A = (2-1, 0-5, -1 -(-4)) = (1, -5, 3) e . Vamos calcular os vetores e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar um vetor perpendicular ao plano usando o produto vetorial AB times AC = i & j & k -1 & -4 & 3 1 & -5 & 3 = i( -4 cdot 3 - 3 cdot (-5) ) - j( -1 cdot 3 - 3 cdot 1 ) + k( -1 cdot (-5) - (-4) cdot 1 ) :
= i( -12 + 15 ) - j( -3 -3 ) + k( 5 +4 ) = 3i + 6j + 9k
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal 3(x -1) + 6(y -5) + 9(z +4) = 0 e o ponto 3x -3 + 6y -30 + 9z +36 = 0 , podemos escrever a equação do plano:
3x +6y +9z +3 =0
Simplificando:
x + 2y + 3z +1 =0
Dividindo todos os termos por 3:

Passo 5

Para ver se o ponto 0 + 2(2) + 3(3) +1 = 0 está no plano, substituímos suas coordenadas na equação do plano:
0 +4 +9 +1 =14 neq 0

Resposta

Os pontos e não são coplanares.

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