Considere os vetores e . Determine sabendo que é ortogonal a , que forma um ângulo agudo com e que possui norma .
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício nos pede. Temos dois vetores, e . Precisamos encontrar um vetor que seja ortogonal a e , que forme um ângulo agudo com o vetor (o vetor unitário na direção x), e que tenha norma . Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial para encontrar um vetor ortogonal a ambos e ajustar sua direção e magnitude conforme solicitado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja ortogonal a e . Isso pode ser feito usando o produto vetorial, que, para dois vetores, resulta em um vetor perpendicular a ambos.
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 3
Agora, temos que a w deve formar um ângulo agudo com o vetor i. Para isso, o ângulo entre w e i deve ser menor que 90 graus, o que implica que o produto escalar entre eles deve ser positivo.
O vetor i é , então o produto escalar:
Como o resultado é negativo, precisamos inverter o vetor w para que o produto escalar seja positivo.
Então, multiplicamos w por -1:
Passo 4
Por fim, ajustamos a magnitude do vetor w para que seja . Primeiro, encontramos a magnitude atual de :
Para ter a magnitude desejada, multiplicamos o vetor por um fator k tal que: