Considere os vetores u = (1, 2, -1) e v = (2, 0, -1). Determine w sabendo que w é ortogonal a u e v, que forma um ângulo agudo com i e que possui norma 3 * raiz(21).

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício nos pede. Temos dois vetores, e . Precisamos encontrar um vetor w que seja ortogonal a u e v, que forme um ângulo agudo com o vetor i (o vetor unitário na direção x), e que tenha norma . Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial para encontrar um vetor ortogonal a ambos e ajustar sua direção e magnitude conforme solicitado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja ortogonal a u e v. Isso pode ser feito usando o produto vetorial, que, para dois vetores, resulta em um vetor perpendicular a ambos.
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 3

Agora, temos que a w deve formar um ângulo agudo com o vetor i. Para isso, o ângulo entre w e i deve ser menor que 90 graus, o que implica que o produto escalar entre eles deve ser positivo.
O vetor i é , então o produto escalar:
Como o resultado é negativo, precisamos inverter o vetor w para que o produto escalar seja positivo.
Então, multiplicamos w por -1:

Passo 4

Por fim, ajustamos a magnitude do vetor w para que seja . Primeiro, encontramos a magnitude atual de :
Para ter a magnitude desejada, multiplicamos o vetor por um fator k tal que:
Portanto, o vetor w final é:

Resposta

O vetor w é .

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