é a curva circunferênca
, percorrida no sentido horário.
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
, onde
é a circunferência
percorrida no sentido horário. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, especialmente focando em formas diferenciais e propriedades de curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma mudança de coordenadas. Vamos definir
e
. Assim, temos:
Diferenciando, obtemos:
Substituindo na integral original, ela fica:
Passo 3
Observamos que a expressão
é a forma diferencial da função ângulo
. Ou seja, a integral representa a variação total do ângulo
ao redor da curva
.
Passo 4
A curva
em termos de
e
fica:
Isso representa uma circunferência de raio 2 centrada no ponto
. Como o centro dessa circunferência está a uma distância 1 do ponto
, que é onde está a singularidade da função integranda, a curva
envolve esse ponto.
Passo 5
A integral de
ao redor de uma curva que envolve a origem uma vez é igual a
vezes o número de voltas que a curva dá em torno da origem. Como a curva
é percorrida no sentido horário, o número de voltas é
.
Passo 6
Portanto, a integral avaliada é: