integralC y d x-(x-1) d y(x-1)^2+y^2, C é a curva circunferênca x^2+y^2=4, percorrida no sentido horário.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha , onde é a circunferência percorrida no sentido horário. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, especialmente focando em formas diferenciais e propriedades de curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma mudança de coordenadas. Vamos definir x = u + 1 e y = v e dx = du e dy = dv . Assim, temos:
integralC v , du - u , dvu^2 + v^2
Diferenciando, obtemos:
Substituindo na integral original, ela fica:

Passo 3

Observamos que a expressão é a forma diferencial da função ângulo . Ou seja, a integral representa a variação total do ângulo ao redor da curva .

Passo 4

A curva (u + 1)^2 + v^2 = 4 em termos de e fica:
Isso representa uma circunferência de raio 2 centrada no ponto . Como o centro dessa circunferência está a uma distância 1 do ponto , que é onde está a singularidade da função integranda, a curva envolve esse ponto.

Passo 5

A integral de ao redor de uma curva que envolve a origem uma vez é igual a vezes o número de voltas que a curva dá em torno da origem. Como a curva é percorrida no sentido horário, o número de voltas é .

Passo 6

Portanto, a integral avaliada é:
integralC y , dx - (x-1) , dy(x-1)^2+y^2 = -2pi

Resposta

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