é a curva circunferênca , percorrida no sentido horário.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha , onde é a circunferência percorrida no sentido horário. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, especialmente focando em formas diferenciais e propriedades de curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma mudança de coordenadas. Vamos definir e . Assim, temos: Diferenciando, obtemos: Substituindo na integral original, ela fica:

Passo 3

Observamos que a expressão é a forma diferencial da função ângulo . Ou seja, a integral representa a variação total do ângulo ao redor da curva .

Passo 4

A curva em termos de e fica: Isso representa uma circunferência de raio 2 centrada no ponto . Como o centro dessa circunferência está a uma distância 1 do ponto , que é onde está a singularidade da função integranda, a curva envolve esse ponto.

Passo 5

A integral de ao redor de uma curva que envolve a origem uma vez é igual a vezes o número de voltas que a curva dá em torno da origem. Como a curva é percorrida no sentido horário, o número de voltas é .

Passo 6

Portanto, a integral avaliada é:

Resposta

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