é a curva circunferênca , percorrida no sentido horário.
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha , onde é a circunferência percorrida no sentido horário. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de linha em campos vetoriais, especialmente focando em formas diferenciais e propriedades de curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma mudança de coordenadas. Vamos definir e . Assim, temos:
Diferenciando, obtemos:
Substituindo na integral original, ela fica:
Passo 3
Observamos que a expressão é a forma diferencial da função ângulo . Ou seja, a integral representa a variação total do ângulo ao redor da curva .
Passo 4
A curva em termos de e fica:
Isso representa uma circunferência de raio 2 centrada no ponto . Como o centro dessa circunferência está a uma distância 1 do ponto , que é onde está a singularidade da função integranda, a curva envolve esse ponto.
Passo 5
A integral de ao redor de uma curva que envolve a origem uma vez é igual a vezes o número de voltas que a curva dá em torno da origem. Como a curva é percorrida no sentido horário, o número de voltas é .
Passo 6
Portanto, a integral avaliada é:
Resposta
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(A) 8.
(B) 12 .
(C) 0 .
(D) 7.
(E) -3 .
(F) outro valor.
Considere os vetores e . Determine sabendo que é ortogonal a , que forma um ângulo agudo com e que possui norma .