Considere os vetores u=(2,-3,2) e v=(4,-1,2).
(ii) Calcule o seno do ângulo entre u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u = (2, -3, 2) e v = (4, -1, 2). O objetivo aqui é calcular o seno do ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial (ou cruz) e as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o seno do ângulo entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula:
sin(theta) = |u times v||u| cdot |v|
Aqui, u times v representa o produto vetorial entre os vetores u e v, e |u| e |v| são as magnitudes (ou módulos) desses vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v. Para dois vetores em 3 dimensões, o produto vetorial é dado por:
u times v = i & j & k 2 & -3 & 2 4 & -1 & 2
Calculando o determinante:
u times v = i((-3)(2) - (2)(-1)) - j((2)(2) - (2)(4)) + k((2)(-1) - (-3)(4))
= i(-6 + 2) - j(4 - 8) + k(-2 + 12)
= i(-4) - j(-4) + k(10)
= (-4)i + 4j + 10k
Então, u times v = (-4, 4, 10).

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude do produto vetorial |u times v|:
|u times v| = raiz(-4)^2 + 4^2 + 10^2 = raiz16 + 16 + 100 = raiz132 = 2raiz33

Passo 5

Em seguida, calculamos as magnitudes dos vetores u e v:
|u| = raiz2^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz4 + 9 + 4 = raiz17
|v| = raiz4^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula do seno do ângulo:
sin(theta) = 2raiz33raiz17 cdot raiz21 = 2raiz33raiz357 = 2raiz33raiz357
Podemos simplificar raiz357:
raiz357 = raiz3 cdot 119 = raiz3 cdot 17 cdot 7 = raiz357
Então, a expressão não simplifica de forma mais elegante, e podemos calcular o valor numérico:
sin(theta) approx 2 times 5.744618.89 approx 11.489218.89 approx 0.608

Resposta

O seno do ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 0,608.

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