(Produto igual à identidade) Seja a matriz .
13.2 Existe matriz tal que ? Se a resposta for afirmativa, determinar uma tal matriz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe uma matriz de tamanho que, quando multiplicada pela matriz dada, resulta na matriz identidade . Isso envolve conceitos de matrizes e multiplicação de matrizes. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender o que significa que o produto delas seja a identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes envolvidas. A matriz é:
E queremos encontrar uma matriz de tamanho :
onde são os elementos que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos multiplicar por . A multiplicação de matrizes funciona de forma que o elemento na posição do produto é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha de e da coluna de . Então:
[
C \times A =
\times


]
Queremos que esse produto seja a matriz identidade :

Passo 4

Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
Isso nos dá um sistema de equações para resolver.

Passo 5

Vamos resolver cada equação:
  1. Primeira equação:
    Podemos expressar .
  2. Segunda equação:
    Assim, .
  3. Terceira equação:
    Temos .
  4. Quarta equação:
    Logo, .

Passo 6

Observamos que temos variáveis livres: podemos escolher valores para e e expressar os demais termos em função delas. Por exemplo, vamos definir:
onde e são números reais quaisquer.
Então, as demais variáveis ficam:

Passo 7

Agora, podemos escrever a matriz em termos de e :
[
C =


]

Resposta

Sim, existe uma matriz tal que . Uma solução geral para é:
onde e são quaisquer números reais. Por exemplo, escolhendo e , temos:
e essa matriz satisfaz .

Exercícios relacionados

Considere os vetores e .
(ii) Calcule o seno do ângulo entre e .
Determine de forma que:
a)
b)
Sobre as bases e , sabe-se que ,
(a) Escreva a matriz de mudança da base para a base .
Determine os determinantes, verificando as relações trigonométricas:
a)
b)
c)
d)
e)