(Produto igual à identidade) Seja a matriz .
13.2 Existe matriz tal que ? Se a resposta for afirmativa, determinar uma tal matriz .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe uma matriz de tamanho que, quando multiplicada pela matriz dada, resulta na matriz identidade . Isso envolve conceitos de matrizes e multiplicação de matrizes. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender o que significa que o produto delas seja a identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes envolvidas. A matriz é:
E queremos encontrar uma matriz de tamanho :
onde são os elementos que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos multiplicar por . A multiplicação de matrizes funciona de forma que o elemento na posição do produto é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha de e da coluna de . Então:
[
C \times A =
\times
]
Queremos que esse produto seja a matriz identidade :
Passo 4
Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
Passo 5
Vamos resolver cada equação:
Primeira equação:
Podemos expressar .
Segunda equação:
Assim, .
Terceira equação:
Temos .
Quarta equação:
Logo, .
Passo 6
Observamos que temos variáveis livres: podemos escolher valores para e e expressar os demais termos em função delas. Por exemplo, vamos definir:
onde e são números reais quaisquer.
Então, as demais variáveis ficam:
Passo 7
Agora, podemos escrever a matriz em termos de e :
[
C =
]
Resposta
Sim, existe uma matriz tal que . Uma solução geral para é:
onde e são quaisquer números reais. Por exemplo, escolhendo e , temos: