(Produto igual à identidade) Seja a matriz A=[ll0 & 1 1 & 0 1 & 1].
13.2 Existe matriz C in Mat2 times 3(R) tal que C A=I2 ? Se a resposta for afirmativa, determinar uma tal matriz C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se existe uma matriz de tamanho que, quando multiplicada pela matriz dada, resulta na matriz identidade . Isso envolve conceitos de matrizes e multiplicação de matrizes. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes e entender o que significa que o produto delas seja a identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes envolvidas. A matriz A = 0 & 1 1 & 0 1 & 1 é:
C = c11 & c12 & c13 c21 & c22 & c23
E queremos encontrar uma matriz de tamanho :
onde são os elementos que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos multiplicar C times A = c11 & c12 & c13 c21 & c22 & c23 times 0 & 1 1 & 0 1 & 1 = c12 + c13 & c11 + c13 c22 + c23 & c21 + c23 por I2 = 1 & 0 0 & 1 . A multiplicação de matrizes funciona de forma que o elemento na posição do produto é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha de e da coluna de . Então:
[
C \times A =
\times


]
Queremos que esse produto seja a matriz identidade :

Passo 4

Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
c12 + c13 = 1 c11 + c13 = 0 c22 + c23 = 0 c21 + c23 = 1
Isso nos dá um sistema de equações para resolver.

Passo 5

Vamos resolver cada equação:
  1. Primeira equação:
    Podemos expressar .
  2. Segunda equação:
    Assim, .
  3. Terceira equação:
    Temos .
  4. Quarta equação:
    Logo, .

Passo 6

Observamos que temos variáveis livres: podemos escolher valores para c13 = t e c23 = s e c11 = -t c12 = 1 - t c21 = 1 - s c22 = -s e expressar os demais termos em função delas. Por exemplo, vamos definir:
onde e são números reais quaisquer.
Então, as demais variáveis ficam:

Passo 7

Agora, podemos escrever a matriz C = -c13 & 1 - c13 & c13 1 - c23 & -c23 & c23 = -t & 1 - t & t 1 - s & -s & s em termos de e :
[
C =


]

Resposta

Sim, existe uma matriz C = -t & 1 - t & t 1 - s & -s & s tal que C = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 . Uma solução geral para é:
onde e são quaisquer números reais. Por exemplo, escolhendo e , temos:
e essa matriz satisfaz .

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