Seja f: um homomorfismo.
Assinale a alternativa correta:
A. Se fé sobrejetora, dizemos que ela é um monomorfismo.B. Se f é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo.C. Se f é injetora, dizemos que ela é um isomorfismo duplo.D. Se fé injetiva, dizemos que ela é um automorfismo.E. Se fé bijetora, dizemos que ela é um epimorfismo.
Assinale V ou F
e não são grupos pois, por exemplo, 0 não possui inverso em nenhum destes conjuntos.
Escolha uma opção:VerdadeiroFalso

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui! Temos duas partes no exercício:
  1. Primeira parte: Temos um homomorfismo e precisamos identificar qual das alternativas (A a E) está correta sobre esse mapeamento.
  2. Segunda parte: Precisamos dizer se a afirmação sobre os conjuntos , e serem ou não grupos é verdadeira ou falsa.
Para resolver, vamos precisar entender conceitos de homomorfismo, monoíssimos, epimorfismos, e isomorfismos na teoria de grupos, além de saber o que é um grupo e quais propriedades ele deve ter.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte do exercício. Um homomorfismo entre dois grupos é uma função que preserva a operação do grupo. Ou seja, para todo , temos:
Agora, vamos entender as opções:
  • Monomorfismo: É um homomorfismo que é injetivo (ou seja, cada elemento de mapeia para um elemento único em ).
  • Epimorfismo: É um homomorfismo que é sobrejetivo (ou seja, todo elemento de é imagem de algum elemento de ).
  • Isomorfismo: É um homomorfismo bijetivo (injetivo e sobrejetivo), ou seja, é uma “reversão perfeita” entre os grupos, mostrando que eles são estruturalmente iguais.
Agora, analisando as alternativas:
  • A. Diz que se é sobrejetora, ela é um monomorfismo. Isso está errado, porque sobrejetora se refere a epimorfismo, não a monomorfismo que é sobre injetividade.
  • B. Se é bijetora, é um isomorfismo. Correto!
  • C. Diz que se é injetora, é um isomorfismo duplo. Não existe esse termo “isomorfismo duplo” na teoria de grupos.
  • D. Se é injetiva, é um automorfismo. Errado, porque automorfismo é um isomorfismo de um grupo para ele mesmo.
  • E. Se é bijetora, é um epimorfismo. Não, porque epimorfismo se refere a ser sobrejetora, não necessariamente bijetora.
Então, a alternativa B é a correta.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. Precisamos avaliar se a afirmação é verdadeira ou falsa:
, e não são grupos pois, por exemplo, 0 não possui inverso em nenhum destes conjuntos.”
Vamos desconstruir isso:
Para que um conjunto com uma operação seja um grupo, ele precisa satisfazer quatro propriedades principais:
  1. Fechamento: A operação entre dois elementos do grupo resulta em outro elemento do grupo.
  2. Associatividade: A operação é associativa.
  3. Elemento Neutro: Existe um elemento que, ao operar com qualquer outro elemento, não o altera.
  4. Inverso: Todo elemento tem um inverso na operação do grupo.
Olha só:
  • Em , o elemento neutro é 1. Mas, nem todo inteiro possui um inverso multiplicativo em , exceto 1 e -1.
  • Em e , o elemento neutro é também 1, e aqui realmente o 0 não possui inverso multiplicativo, já que não existe tal que .
Portanto, a falta do inverso de 0 impede que esses conjuntos sejam grupos sob a operação de multiplicação.

Resposta

Primeira parte: A alternativa correta é a B.
Segunda parte: A afirmação é Verdadeiro.

Exercícios relacionados

Determine o valor de para que a reta que passa por e forme com o eixo de abscissas, no sentido negativo, um ângulo de 45. resp.: .
Determine os autovalores e uma base para cada auto-espaço da matriz
Determine de forma que:
a)
b)
Considere os vetores e .
(ii) Calcule o seno do ângulo entre e .