Resolva pela regra de Cramer os sistemas de equações abaixo:
(d) l5 x-2 y+3 z=16 2 x+3 y-5 z=2 4 x-5 y+6 z=7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes para encontrar as soluções de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes e calcular alguns determinantes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das variáveis A = 5 & -2 & 3 2 & 3 & -5 4 & -5 & 6 , D = 5 cdot (3 cdot 6 - (-5) cdot (-5)) - (-2) cdot (2 cdot 6 - (-5) cdot 4) + 3 cdot (2 cdot (-5) - 3 cdot 4) e D = 5 cdot (18 - 25) - (-2) cdot (12 - (-20)) + 3 cdot (-10 - 12) nas equações:
D = 5 cdot (-7) + 2 cdot 32 + 3 cdot (-22)
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz, que vamos chamar de D = -35 + 64 - 66 . O determinante nos ajuda a verificar se o sistema tem uma solução única.
Para calcular o determinante D = -37 :
Calculando cada parte:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante Ax = 16 & -2 & 3 2 & 3 & -5 7 & -5 & 6 . Para isso, substituímos a coluna de Dx = 16 cdot (3 cdot 6 - (-5) cdot (-5)) - (-2) cdot (2 cdot 6 - (-5) cdot 7) + 3 cdot (2 cdot (-5) - 3 cdot 7) na matriz Dx = 16 cdot (18 - 25) - (-2) cdot (12 - (-35)) + 3 cdot (-10 - 21) pelos termos constantes do sistema (16, 2, 7):
Dx = 16 cdot (-7) + 2 cdot 47 + 3 cdot (-31)
Calculando o determinante Dx = -112 + 94 - 93 :
Dx = -111

Passo 4

Vamos calcular agora o determinante Ay = 5 & 16 & 3 2 & 2 & -5 4 & 7 & 6 . Substituímos a coluna de Dy = 5 cdot (2 cdot 6 - (-5) cdot 7) - 16 cdot (2 cdot 6 - (-5) cdot 4) + 3 cdot (2 cdot 7 - 2 cdot 4) na matriz Dy = 5 cdot (12 + 35) - 16 cdot (12 + 20) + 3 cdot (14 - 8) pelos termos constantes do sistema:
Dy = 5 cdot 47 - 16 cdot 32 + 3 cdot 6
Calculando o determinante Dy = 235 - 512 + 18 :
Dy = -259

Passo 5

Por fim, vamos calcular o determinante Az = 5 & -2 & 16 2 & 3 & 2 4 & -5 & 7 . Substituímos a coluna de Dz = 5 cdot (3 cdot 7 - 2 cdot (-5)) - (-2) cdot (2 cdot 7 - 2 cdot 4) + 16 cdot (2 cdot (-5) - 3 cdot 4) na matriz Dz = 5 cdot (21 + 10) - (-2) cdot (14 - 8) + 16 cdot (-10 - 12) pelos termos constantes do sistema:
Dz = 5 cdot 31 + 2 cdot 6 + 16 cdot (-22)
Calculando o determinante Dz = 155 + 12 - 352 :
Dz = -185

Resposta

Agora, aplicando a Regra de Cramer, as soluções para x = DxD = -111-37 = 3 y = DyD = -259-37 = 7 z = DzD = -185-37 = 5 , e são dadas por:
Portanto, a solução do sistema é , e .

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