Determine a equação do subespaço S de R^3 gerado por (-1,0,1),(0,-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do subespaço de gerado pelos vetores . Isso envolve entender um pouco sobre subespaços vetoriais e como eles são definidos por vetores geradores. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e produto vetorial, para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o subespaço gerado por dois vetores em é um plano que passa pela origem. Para encontrar a equação desse plano, precisamos determinar um vetor normal a ele, ou seja, um vetor que é perpendicular a ambos os vetores geradores.

Passo 3

Para achar esse vetor normal, podemos usar o produto vetorial (ou produto cruzado) dos dois vetores geradores. O produto vetorial de n = u times v = i & j & k -1 & 0 & 1 0 & -2 & 1 e n = i(0 cdot 1 - 1 cdot (-2)) - j((-1) cdot 1 - 1 cdot 0) + k((-1) cdot (-2) - 0 cdot 0) é calculado da seguinte forma:
n = i(0 + 2) - j(-1 - 0) + k(2 - 0)
Calculando o determinante:
n = 2i + j + 2k
n = (2, 1, 2)

Passo 4

Agora que temos o vetor normal 2x + 1y + 2z = 0 , podemos usar a equação geral de um plano no espaço, que é dada por:
Essa equação representa todos os pontos que estão no plano .

Resposta

A equação do subespaço 2x + y + 2z = 0 é:

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