Considere os vetores u=(1,0,1) e v=(1,2,1) do R^3. Determine vetores w1, w2 não nulos tais que:
b) (1,0 ponto) O vetor w2 pertença ao subespaço gerado por u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar vetores e que não sejam nulos, e especificamente para o item b), temos que deve pertencer ao subespaço gerado pelos vetores e em . Então, vamos trabalhar com combinações lineares desses vetores para achar o .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que w2 = a cdot u + b cdot v pertença ao subespaço gerado por e . Isso quer dizer que pode ser escrito como uma combinação linear de e , ou seja:
onde e são escalares (números reais) que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores de w2 = a cdot (1, 0, 1) + b cdot (1, 2, 1) e w2 = (a cdot 1 + b cdot 1, , a cdot 0 + b cdot 2, , a cdot 1 + b cdot 1) na equação acima:
w2 = (a + b, , 2b, , a + b)
Fazendo a operação de combinação linear:
Simplificando:

Passo 4

Precisamos escolher valores para w2 = (1 + 0, , 2 cdot 0, , 1 + 0) = (1, 0, 1) e que garantam que não seja o vetor nulo. Uma escolha simples é definir um dos coeficientes como 1 e o outro como 0 ou qualquer outro número que não faça todos os componentes serem zero.
Por exemplo, vamos escolher e :
Esse vetor não é nulo e está no subespaço gerado por e .

Resposta

Um exemplo de vetor que pertence ao subespaço gerado por e é .

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