Determine o centro e o raio de cada circunferência.
x^2+y^2+20 x+4 y+23=0

Passo 1

Opa! Vamos resolver essa equação de uma circunferência: . Para encontrar o centro e o raio, vamos precisar completar os quadrados tanto para o quanto para o . Isso vai nos ajudar a colocar a equação na forma padrão da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar os termos para agrupar os x^2 + 20x + y^2 + 4y = -23 e os :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de (202)^2 = 100 . Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de x^2 + 20x + 100 - 100 + y^2 + 4y = -23 , que é 20, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x + 10)^2 - 100 + y^2 + 4y = -23
Adicionamos e subtraímos 100 na equação:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de (42)^2 = 4 . Pegamos o coeficiente de (x + 10)^2 - 100 + y^2 + 4y + 4 - 4 = -23 , que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x + 10)^2 + (y + 2)^2 - 104 = -23
Adicionamos e subtraímos 4 na equação:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos agora isolar os termos constantes do outro lado da equação:
(x + 10)^2 + (y + 2)^2 = -23 + 104
(x + 10)^2 + (y + 2)^2 = 81

Passo 6

A equação agora está na forma padrão da circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Comparando com a nossa equação, temos:
h = -10 e k = -2
E o raio r = raiz81 = 9 é a raiz quadrada de 81:

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é .

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