Determine o centro e o raio de cada circunferência.
x^2+y^2-12 x-10 y-25=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o centro e o raio de uma circunferência. A equação que temos é:
x^2 + y^2 - 12x - 10y - 25 = 0
Esse problema faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos as propriedades de figuras geométricas no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a equação geral da circunferência para a forma padrão, que nos permite identificar facilmente o centro e o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de x^2 - 12x + y^2 - 10y = 25 e os termos de . Ficamos com:
Isso facilita o processo de completar o quadrado para ambos os termos.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (-122)^2 = (-6)^2 = 36 . Pegamos o coeficiente de x^2 - 12x + 36 - 36 + y^2 - 10y = 25 , que é (x - 6)^2 - 36 + y^2 - 10y = 25 , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Isso nos permite reescrever os primeiros três termos como um quadrado perfeito:

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de (-102)^2 = (-5)^2 = 25 . Pegamos o coeficiente de (x - 6)^2 - 36 + y^2 - 10y + 25 - 25 = 25 , que é (x - 6)^2 - 36 + (y - 5)^2 - 25 = 25 , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Reescrevemos os termos de como um quadrado perfeito:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação combinando os termos constantes:
(x - 6)^2 + (y - 5)^2 - 61 = 25
Para isolar os termos de (x - 6)^2 + (y - 5)^2 = 86 e , somamos 61 em ambos os lados:

Passo 6

Comparando essa equação com a forma padrão da circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Podemos identificar o centro e o raio .

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é unidades.

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